ベルヌーイ分布 確率質量関数 累積分布関数 母数 0 < p < 1 {\displaystyle 0 p 0.5 if q = p 1 if q < p {\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\0.5&{\text{if }}q=p\1&{\text{if }}q p 0 , 1 if q = p 1 if q < p {\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\0,1&{\text{if }}q=p\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}} 分散 p ( 1 − p ) ( = p q ) {\displaystyle p(1-p)(=pq)} 歪度 1 − 2 p p q {\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}} 尖度 1 − 6 p q p q {\displaystyle {\frac {1-6pq}{pq}}} エントロピー − q ln ( q ) − p ln ( p ) {\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)} モーメント母関数 q + p e t {\displaystyle q+pe^{t}} 特性関数 q + p e i t {\displaystyle q+pe^{it}} テンプレートを表示
ベルヌーイ分布（英: Bernoulli distribution）とは、数学において、確率 p で 1 を、確率 q = 1 − p で 0 をとる、離散確率分布である。
ベルヌーイ分布という名前は、スイスの科学者ヤコブ・ベルヌーイに因んでつけられた名前である。
X をベルヌーイ分布に従う確率変数とすれば、確率質量関数は
P ( X = 1 ) = p , P ( X = 0 ) = q = 1 − p {\displaystyle P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=q=1-p}
である。これを
P ( X = k ) = p k ( 1 − p ) 1 − k ( k = 0 , 1 ) {\displaystyle P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k}\qquad (k=0,1)}
logit ( p i ) = ln ( p i 1 − p i ) = α + β 1 x 1 , i + ⋯ + β k x k , i , {\displaystyle \operatorname {logit} (p_{i})=\ln \left({\frac {p_{i}}{1-p_{i}}}\right)=\alpha +\beta {1}x{1,i}+\cdots +\beta {k}x{k,i},} i = 1 , … , n , {\displaystyle i=1,\dots ,n,\,!}
ここで、n 個のユニットと共変動 X があり、以下のような関係にある。
p i = E ( Y | X i ) = Pr ( Y i = 1 ) . {\displaystyle p_{i}=E(Y|X_{i})=\Pr(Y_{i}=1).\,!}
結果のオッズ（1から確率を引いたもので確率を割った値）の対数は、説明変数 Xi の線形関数としてモデル化される。これを次のようにも表せる。
p i = Pr ( Y i = 1 | X ) = 1 1 + e − ( α + β 1 x 1 , i + ⋯ + β k x k , i ) {\displaystyle p_{i}=\Pr(Y_{i}=1|X)={\frac {1}{1+e^{-(\alpha +\beta {1}x{1,i}+\cdots +\beta {k}x{k,i})}}}}
Agresti, Alan, Categorical Data Analysis, 2nd ed., New York: Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-36093-7.
Amemiya, T., Advanced Econometrics, Harvard University Press, 1985, ISBN 0-674-00560-0.
Balakrishnan, N., Handbook of the Logistic Distribution, Marcel Dekker Inc., 1991, ISBN 0824785878.
Green, William H., Econometric Analysis, fifth edition, Prentice Hall, 2003, ISBN 0-13-066189-9.
Hosmer, David W. and Stanley Lemeshow, Applied Logistic Regression, 2nd ed., New York; Chichester, Wiley, 2000, ISBN 0-471-35632-8.
S P R C = P R C × S D E V S D R V {\displaystyle SPRC=PRC\times {\frac {SDEV}{SDRV}}}
変数名 意味
S P R C {\displaystyle SPRC} 標準化偏回帰係数[1]
P R C {\displaystyle PRC} 偏回帰係数[2]
S D E V {\displaystyle SDEV} 説明変数の標準偏差[3]
S D R V {\displaystyle SDRV} 目的変数の標準偏差[4]
例
中学生を対象に調査を行いその結果を重回帰分析したところ下の式が得られたとする。
t C × 3 + t S J × 5 + 20 = n {\displaystyle t_{C}\times 3+t_{SJ}\times 5+20=n}
変数名 意味
t C {\displaystyle t_{C}} 中学で勉強した時間数
t S J {\displaystyle t_{SJ}} 小学生の時代の塾の学習時間数
n {\displaystyle n} 知っている英単語の数
Microsoft Excel
SAS
Stata
SPSS
College Analysis
多変量解析入門
R言語 - 統計解析言語。重回帰分析だけでなく多変量解析ほか多くの統計関数を標準装備したフリーウェア。『モデル式』でモデル記述や当てはめが容易。他アプリケーションのファイル取込やODBC接続対応。FDA公認。CRANなる仕組で世界の膨大なソフトを無償利用可能。可視化機能に優れ、日本語対応。マルチプラットフォーム。Rの基本パッケージ中の回帰、分散分析関数一覧。重回帰分析はlm関数で行えるほか、独自に書かれた関数もある: [1][2]。
NAG
IMSL
R言語 - 統計解析言語。回帰分析ほか多くの統計関数を標準装備したフリーウェア。『モデル式』でモデル記述や当てはめが容易。他アプリケーションのファイル取込やODBC接続対応。FDA公認。CRANという仕組みで世界の膨大なソフトを無償利用可能。可視化機能に優れ、日本語対応。マルチプラットフォーム。
Stata
Gretl
脚注
^ 『統計学入門』(東京大学出版会)、257頁
参考文献
『統計学入門』東京大学出版会、1991年。
J. R. Taylor 著、林茂雄、馬場凉（訳） 編『計測における誤差解析入門』東京化学同人、2000年。
蓑谷千凰彦『回帰分析のはなし』東京図書、1985年。
1855年にアフガニスタンはガージャール朝の侵攻を警戒して、イギリスとペシャーワル条約（英: Treaty of Peshawar）を締結し、両国の相互防衛関係を築いていた。
ナポレオン3世の仲裁でストラトフォード・カニングとアミーノッドウレ（英語版）（ペルシア語: هشتپر、フランス語: Amīn od-Doule）の交渉が行なわれた結果（パリ条約）、ガージャール朝がヘラートから手を引くと、ロシアの中央アジアへの進出を呼び込み（en:Expansion of Russia 1500–1800）、ブハラ・ハン国（1868年）、ヒヴァ・ハン国（1873年）を次々と保護国化し、コーカンド・ハン国（1876年）を併合した。
1917年にイギリスはロシア内戦への干渉（en:Allied intervention in the Russian Civil War）の前線基地としてイランを利用したが、その結果、無政府状態へと転落し、王朝の権威は失墜していった（ギーラーン共和国、ホラサーン自治政府（英語版）、クルディスタン王国（英語版））。
^ “A Collection of selected maps of Iran in the Qajar Era (1193 - 1344 Lunar Calendar / 1779-1926 Gregorian Calendar)” (英語). UNESCO. 2023年5月27日閲覧。
^ “UNESCO Memory of the World Register”. UNESCO. 2023年5月27日閲覧。
^ 「議会、カジャール王朝廃止を決議」『大阪毎日新聞』1925年11月2日（大正ニュース事典編纂委員会 『大正ニュース事典第7巻 大正14年-大正15年』本編p.631 毎日コミュニケーションズ刊 1994年）
^ 「首相リザ・カーンが国王に推される」『時事新報』1925年12月14日（大正ニュース事典編纂委員会 『大正ニュース事典第7巻 大正14年-大正15年』本編p.631 毎日コミュニケーションズ刊 1994年）
^ 「リザ・カーンの即位式を挙行」『中外商業新報』1926年4月25日（大正ニュース事典編纂委員会 『大正ニュース事典第7巻 大正14年-大正15年』本編p.631 毎日コミュニケーションズ刊 1994年）
関連項目
ガージャール朝の美術（英語版）
外部リンク
The Qajar (Kadjar) Pages
Qajars Dynasty Turkoman dynasty of the Shahs of Persia
Qajar Family Website
"Agi Murad, il diavolo bianco"（英: The White Warrior、日: 快傑白魔）・・・リッカルド・フレーダ監督。Steve Reeves主演。イタリア映画（1959年）。ハジ・ムラートのロシア帝国に対する闘争を描いた。
脚注 [脚注の使い方]
^ en:Khanates of the Caucasus
^ en:Kazikumukh Shamkhalateの後継国家
^ 和田（2002）p.216
^ http://www.yale.edu/agrarianstudies/papers/11noxchi.pdf Yale University paper
出典
Michael Khodarkovsky (2014). Bitter Choices: Loyalty and Betrayal in the Russian Conquest of the North Caucasus. Cornell University Press. ISBN 080-1479525
ジジイがあれこれ考えた 