特に、m, n が互いに素（最大公約数が 1）である場合、mx + ny = 1 の整数解を (x, y) とすると、mx + ny = c は任意の整数 c に対して整数解 (cx, cy) をもつことが分かる。
一般に、 m = r 0 , n = r 1 {\displaystyle m=r_{0},n=r_{1}} において、ユークリッドの互除法の各過程を繰り返して
r 0 = k 0 r 1 + r 2 ( 0 < r 2 < r 1 ) {\displaystyle r_{0}=k_{0}r_{1}+r_{2}\ \ (0<r_{2}<r_{1})}
r 1 = k 1 r 2 + r 3 ( 0 < r 3 < r 2 ) {\displaystyle r_{1}=k_{1}r_{2}+r_{3}\ \ (0<r_{3}<r_{2})}
r 2 = k 2 r 3 + r 4 ( 0 < r 4 < r 3 ) {\displaystyle r_{2}=k_{2}r_{3}+r_{4}\ \ (0<r_{4}<r_{3})}
. . . {\displaystyle ...}
r h − 1 = k h − 1 r h + 0 {\displaystyle r_{h-1}=k_{h-1}r_{h}+0}
が得られるとき、
( r 0 r 1 ) = ( k 0 1 1 0 ) ( r 1 r 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{0}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\end{pmatrix}}}
( r 1 r 2 ) = ( k 1 1 1 0 ) ( r 2 r 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{1}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{2}\\r_{3}\\\end{pmatrix}}}
( r 2 r 3 ) = ( k 2 1 1 0 ) ( r 3 r 4 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{2}\\r_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{2}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{3}\\r_{4}\\\end{pmatrix}}}
. . . {\displaystyle ...}
( r h − 1 r h ) = ( k h − 1 1 1 0 ) ( r h 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{h-1}\\r_{h}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{h-1}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{h}\\0\\\end{pmatrix}}}
すなわち
( r 0 r 1 ) = ( k 0 1 1 0 ) ( k 1 1 1 0 ) ( k 2 1 1 0 ) ( k 3 1 1 0 ) . . . ( k h − 1 1 1 0 ) ( r h 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{0}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}k_{1}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}k_{2}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}k_{3}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}...{\begin{pmatrix}k_{h-1}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{h}\\0\\\end{pmatrix}}}
ここで
K i = ( k i 1 1 0 ) {\displaystyle K_{i}={\begin{pmatrix}k_{i}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}} とおくと、 | K i | = − 1 {\displaystyle |K_{i}|=-1} であるから K i − 1 {\displaystyle K_{i}^{-1}}は存在して
( k h − 1 1 1 0 ) − 1 ( k h − 2 1 1 0 ) − 1 . . . ( k 2 1 1 0 ) − 1 ( k 1 1 1 0 ) − 1 ( k 0 1 1 0 ) − 1 ( r 0 r 1 ) = ( r h 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}k_{h-1}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}k_{h-2}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}^{-1}...{\begin{pmatrix}k_{2}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}k_{1}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}k_{0}&1\\1&0\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{h}\\0\\\end{pmatrix}}}
これらの過程において、 m = r 0 , n = r 1 {\displaystyle m=r_{0},n=r_{1}}、ユークリッドの互除法により、 r h = gcd ( m , n ) {\displaystyle r_{h}=\gcd(m,n)}であるから、 K i − 1 = ( 0 1 1 − k i ) {\displaystyle K_{i}^{-1}={\begin{pmatrix}0&1\1&-k_{i}\\end{pmatrix}}}を考慮すると、
( 0 1 1 − k h − 1 ) ( 0 1 1 − k h − 2 ) . . . ( 0 1 1 − k 2 ) ( 0 1 1 − k 1 ) ( 0 1 1 − k 0 ) ( m n ) = ( gcd ( m , n ) 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&-k_{h-1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&-k_{h-2}\\\end{pmatrix}}...{\begin{pmatrix}0&1\\1&-k_{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&-k_{1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&-k_{0}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}m\\n\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gcd(m,n)\\0\\\end{pmatrix}}}
となる。
( x y u v ) = ( 0 1 1 − k h − 1 ) ( 0 1 1 − k h − 2 ) . . . ( 0 1 1 − k 2 ) ( 0 1 1 − k 1 ) ( 0 1 1 − k 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\u&v\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&-k_{h-1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&-k_{h-2}\\\end{pmatrix}}...{\begin{pmatrix}0&1\\1&-k_{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&-k_{1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&-k_{0}\\\end{pmatrix}}}
とおき、ユークリッドの互除法の各過程で得られた k 0 {\displaystyle k_{0}}, k 1 {\displaystyle k_{1}}, k 2 {\displaystyle k_{2}}等を用いて、右辺を計算すれば、左辺の x {\displaystyle x}, y {\displaystyle y} が求まり、これはベズーの等式
m x + n y = gcd ( m , n ) {\displaystyle mx+ny=\gcd(m,n)}
そしてAMDのリサ・スーCEOとIntelのパット・ゲルシンガーCEOは、これからCopilot+ PCをサポートする新しいSoCとなる「Ryzen AI 300」、「Lunar Lake」のアピールを行なった。
それぞれの詳細は別記事をご参照いただくとして、本記事では、ASUSのブースでAMDのRyzen AI 300シリーズを搭載した「Copilot+ PC」の注意書きとして貼られていた「Free Upgrade to Copilot+ PC Experience when available」がどんなことを意味するのかについて解説したい。
AMDはRyzen AI 300を既にOEMメーカーに出荷しており、ASUSが搭載PCを7月に投入すると明らかにしている。実際、ASUSはAMDの基調講演後に記者会見を行ない、Ryzen AI 300搭載PCを発表している。
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ASUSのRyzen AI 300搭載ノートPCだが、この記者会見の場にも、そしてCOMPUTEXのASUSブースでの展示にも「Free Upgrade to Copilot+ PC Experience when available」という注意書きが入っているのを見て、筆者が「おや? 」と思った。
ASUSのブースに展示されたRyzen AI 300シリーズの展示
AMDのRyzen AI 300のマーケティング担当であるRyzen AI 製品責任者 ラケシュ・アニグンディ氏にその点を問い正すと「7月の発売時点ではCopilot+ PCの機能は有効にはならない。将来どこかのタイミングでそれが有効になった段階で自動アップグレードが行なわれ利用できるようになる」と述べ、AMDがRyzen AI 300シリーズを発売しても、発売時点ではCopilot+ PCの機能は使えないという事実を明らかにした。
ジジイがあれこれ考えた 