【解説マップ】ソクラテスの哲学思想を図解でわかりやすく（著書や名言まで） ① 無知の知： 自分の無知を知ることの大切さ 上にも書いたように、ソクラテスの有名な言葉に「無知の知」があります。これは、「自分が何も知らないことを知っている」という意味です。ソクラテスは、人々が自分の知識や能力を過大評価していることに気づき、まず自分の無知を自覚することが重要だと考えました。
Carnelian gem imprint representing Socrates, Rome, 1st century BC–1st century AD (left); Wall painting at a house depicting Socrates, 1st–5th century AD, Museum of Ephesus (right)
^ なお、幾何学に関しては、ディオゲネス・ラエルティオスの『列伝』2.32にもクセノポンと同様の記述が見られる。 ^ アルキビアデスは騎兵として参加、当時の回想が『饗宴』に書かれている。 ^ 同時にそれがまったくのでっちあげであれば揶揄としての効果を持たないことから、何らかの真実を含んでいるとも考えられる。 ^ 伝統的にプラトンの著作と見なされ、時々、真筆性に疑問を投げかけられているものに『クレイトポン』がある。この対話篇では、ソクラテスは登場するものも影は薄く、「善とは何か？」という極限的な問題について何ら積極的な解答を与えないソクラテスへのクレイトポンの非難が主な内容を成している。ただし、これを『国家』の習作と見なす態度もある[42]。 ^ イギリスの哲学者バートランド・ラッセルは『西洋哲学史』においてソクラテスを「オルフィック教の聖者」と呼んだ。 出典 ^ “Socrates”. Encyclopedia Britannica. Encyclopedia Britannica, Inc. (2017年8月16日). 2017年10月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年11月20日閲覧。 ^ Jones, Daniel; Roach, Peter, James Hartman and Jane Setter, eds. Cambridge English Pronouncing Dictionary. 17th edition. Cambridge UP, 2006. ^ Easterling, P. E. (1997). The Cambridge Companion to Greek Tragedy. Cambridge University Press. p. 352. ISBN 978-0-521-42351-9. オリジナルの1 December 2017時点におけるアーカイブ。 2017年11月19日閲覧。 ^ Smith, Nicholas D.; Woodruff, Paul (2000). Reason and Religion in Socratic Philosophy. Oxford University Press. p. 154. 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出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2018年8月） プラトン『ソクラテスの弁明・クリトン』久保勉訳（第92刷改版）、岩波書店〈岩波文庫〉、2007年4月。 メアリアン・ウルフ 著、小松淳子 訳『プルーストとイカ…読書は脳をどのように変えるのか?』（初版）インターシフト（原著2008年10月15日）。ISBN 9784772695138。 加来彰俊『ソクラテスはなぜ死んだのか』岩波書店、2004年 F・M・コーンフォード 『ソクラテス以前以後』山田道夫訳、岩波文庫、1995年 斎藤忍随『知者たちの言葉 ソクラテス以前』岩波新書、初版1976年 田中美知太郎 『ソクラテス』 岩波新書、初版1957年。ISBN 4004120195 西部邁「98 ソクラテス」『学問』講談社、2004年、318-320頁。ISBN 4-06-212369-X。 納富信留『哲学者の誕生 ソクラテスをめぐる人々』ちくま新書、2005年 ディオゲネス・ラエルティオス・加来彰俊訳 『ギリシア哲学者列伝（上）』 岩波文庫、初版1984年。ISBN 400336631X Ahbel-Rappe, Sara (2011). Socrates: A Guide for the Perplexed. A&C Black. ISBN 978-0-8264-3325-1 Alon, Ilai (2009). “Socrates in Arabic Philosophy”. A Companion to Socrates. Wiley. pp. 313–326. doi:10.1002/9780470996218.ch20. ISBN 978-1-4051-5458-1 Bowman, Brady (2019). “Hegel on Socrates and the Historical Advent of Moral Self-Consciousness”. In Kyriakos N. Demetriou. Brill’s Companion to the Reception of Socrates. Brill. pp. 749–792. doi:10.1163/9789004396753_030. ISBN 978-90-04-39675-3 Coppens, Philip, “Socrates, that’s the question” Feature Articles– Biographies, PhilipCoppens.com. Guthrie, W. K. C. (1972). A History of Greek Philosophy: Volume 3, The Fifth Century Enlightenment, Part 2, Socrates. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511518454. ISBN 978-0-521-09667-6 Hankins, James (2009). “Socrates in the Italian Renaissance”. A Companion to Socrates. Wiley. pp. 337–352. doi:10.1002/9780470996218.ch21. ISBN 978-1-4051-5458-1 May, Hope (2000). On Socrates. Belmont, CA: Wadsworth. ISBN 0-534-57604-4 McLean, Daniel R. (2009). “The Private Life of Socrates in Early Modern France”. A Companion to Socrates. Wiley. pp. 353–367. doi:10.1002/9780470996218.ch22. ISBN 978-1-4051-5458-1 Muench, Paul (2009). “Kierkegaard’s Socratic Point of View”. In Sara Ahbel-Rappe. A Companion to Socrates. Rachana Kamtekar. Wiley. pp. 389–405. doi:10.1002/9780470996218.ch24. ISBN 978-1-4051-5458-1 Long, A.A. (2011). “Socrates in Later Greek Philosophy”. In Donald R. Morrison. The Cambridge Companion to Socrates. Cambridge University Press. pp. 355–379. doi:10.1017/CCOL9780521833424.015. ISBN 978-0-521-83342-4 Loughlin, Felicity P. (2019). “Socrates and Religious Debate in the Scottish Enlightenment”. In Kyriakos N. Demetriou. Brill’s Companion to the Reception of Socrates. Brill. pp. 658–683. doi:10.1163/9789004396753_027. ISBN 978-90-04-39675-3 Ong, Walter (2002). Orality and Literacy. New York: Routledge. ISBN 0-415-28129-6 Kagan, Donald. The Fall of the Athenian Empire. First. Ithaca, New York: Cornell University Press, 1987. Pausanias, Description of Greece. W. H. S. Jones (translator). Loeb Classical Library. Cambridge, MA: Harvard University Press; London, William Heinemann Ltd. (1918). Vol. 1. Books I–II: ISBN 0-674-99104-4. Vol. 4. Books VIII.22–X: ISBN 0-674-99328-4. Porter, James I. (2009). “Nietzsche and ‘The Problem of Socrates’”. In Sara Ahbel-Rappe. A Companion to Socrates. Rachana Kamtekar. Wiley. pp. 406–425. doi:10.1002/9780470996218.ch25. ISBN 978-1-4051-5458-1 Porter, James I. (2009). “Nietzsche and ‘The Problem of Socrates’”. In Sara Ahbel-Rappe. A Companion to Socrates. Rachana Kamtekar. Wiley. pp. 406–425. doi:10.1002/9780470996218.ch25. ISBN 978-1-4051-5458-1 Raymond, Christopher C. (2019). “Nietzsche’s Revaluation of Socrates”. In Kyriakos N. Demetriou. Brill’s Companion to the Reception of Socrates. Brill. pp. 837–683. doi:10.1163/9789004396753_033. ISBN 978-90-04-39675-3 Schur, David; Yamato, Lori (2019). “Kierkegaard’s Socratic Way of Writing”. In Kyriakos N. Demetriou. Brill’s Companion to the Reception of Socrates. Brill Publishers. pp. 820–836. doi:10.1163/9789004396753_032. ISBN 978-90-04-39675-3 Thucydides; The Peloponnesian War. London, J. M. Dent; New York, E. P. Dutton. 1910.[1] Trizio, Michele (2019). “Socrates in Byzantium”. Brill’s Companion to the Reception of Socrates. Brill Publishers. pp. 592–618. doi:10.1163/9789004396753_024. ISBN 978-90-04-39675-3 Vlastos, Gregory (1991). Socrates, Ironist and Moral Philosopher. Ithaca: Cornell University Press. ISBN 0-8014-9787-6 White, Nicholas (2009). “Socrates in Hegel and Others”. In Sara Ahbel-Rappe. A Companion to Socrates. Rachana Kamtekar. Wiley. pp. 368–387. doi:10.1002/9780470996218.ch23. ISBN 978-1-4051-5458-1 関連項目
ギリシア哲学（ギリシアてつがく、ギリシャ哲学、ギリシア語: Αρχαία ελληνική φιλοσοφία[注 1]、ラテン語: Philosophia Graeca antiqua[注 1]）とは、古代ギリシアで興った哲学の総称。現在でいう哲学のみならず、物理学（自然哲学）や数学を含む学問や学究的営為の総称である。
^ Richard Dedekind, Theory of algebraic integers, p. 5, – Google ブックス スタブアイコン この項目は、抽象代数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。
正方形がRC回路に入力された場合の出力信号波形を得るために、RC回路のインパルス応答と方形波の畳み込みを行っている。 黄色の領域で示されている面積が合成積である。 畳み込み（たたみこみ、英: convolution）とは、関数 g を平行移動しながら関数 f に重ね足し合わせる二項演算である。あるいはコンボリューションとも呼ばれる。
定義 一次元 連続 連続関数 f, g の畳み込み f ∗ g は以下のように定義される：
( f ∗ g ) ( t
)
∫ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ {\displaystyle (f*g)(t)=\int f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } 積分を用いて2つの関数を合わせることから畳み込み積分、合成積、重畳積分とも呼ばれる。
積分範囲は関数の定義域に依存する。通常は区間 (−∞, +∞) で定義される関数を扱うことが多いので、積分範囲は −∞ から +∞ で計算されることが多い。一方 f, g が有限区間でしか定義されない場合には、g(t − τ) が定義域内に入るように f, g を周期関数と見なして計算される。この周期関数と見なして畳み込みをすることを循環畳み込み（じゅんかんたたみこみ、英: cyclic convolution）と呼ぶ。
離散 離散信号 f, g の畳み込み f ∗ g は以下のように定義される：
( f ∗ g ) ( m
)
∑ n f ( n ) g ( m − n ) {\displaystyle (f*g)(m)=\sum _{n}{f(n)\,g(m-n)}} すなわち積分のかわりに総和を使って同様に定義される。そのため畳み込み和・重畳和とも呼ばれる。
総和の範囲も関数の定義域に依存し、関数が有限区間でしか定義されていない場合は周期関数とみなして畳み込み演算が行われる。また定義域外の値を 0 と定義し直した関数での畳み込みがよく行われる。これを線形畳み込み（せんけいたたみこみ、英: linear convolution）あるいは直線畳み込み（ちょくせんたたみこみ）と呼ぶ。
高次元 Rd 上の複素数値函数 fと g の畳み込みは、それ自身が Rd 上の複素数値函数として
( f ∗ g ) ( x
)
∫ R d f ( y ) g ( x − y ) d
y
∫ R d f ( x − y ) g ( y ) d y {\displaystyle (f*g)(x)=\int {\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int {\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy} で定義されるものであるが、右辺の積分が存在してこれが定義可能となるには、fと g が無限遠において十分急速に減少する（英語版）必要がある。とはいえ、たとえば g が無限遠において爆発するとしても、その影響は f が十分に急減少であれば容易に打ち消すことができるから、この積分の存在条件は込み入ったものも考え得る。この問題をクリアする函数の条件としてよく用いられる場合を以下に挙げる。
コンパクト台付き函数 函数 f と g がともにコンパクト台連続函数ならば、それらの畳み込みは存在して、やはりコンパクト台連続函数となる[1]。より一般に、一方がコンパクト台、他方が局所可積分函数ならば、畳み込み f ∗ g が定義されて連続である。
R 上では両者が局所自乗可積分の場合、あるいは両者がともに半無限区間 [a, +∞) (あるいはともに (-∞, a]) に台を持つ場合でも畳み込みが定まる。
可積分函数 函数 f と g がともにL1(Rd)に属するルベーグ可積分函数ならば、それらの畳み込み f ∗ g が存在してやはり可積分である[2]。これはトネリの定理の帰結である。このことは ℓ1 に属する数列の離散畳み込みや、より一般の群上の L1 の畳み込みでも成立する。
同様にして、 f ∈ L1(Rd) と g ∈ Lp(Rd) が 1 ≤ p ≤ ∞ のとき、 f ∗ g ∈ Lp(Rd) かつ
‖ f ∗ g ‖ p ≤ ‖ f ‖ 1 ‖ g ‖ p {\displaystyle |{f}*g|_{p}\leq |f|_{1}|g|_{p}} を満たす。特に p = 1 のとき、これにより L1 は畳み込みを積としてバナッハ代数を成す(また、等号成立は f と g がともに殆ど至る所非負のときである。)
1 r + 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1} なる関係を満足するとして、
‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q ( f ∈ L p ( R d ) , g ∈ L q ( R d ) ) {\displaystyle \lVert f*g\rVert {r}\leq \lVert f\rVert {p}\,\lVert g\rVert _{q}\quad (f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),\,g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{d}))} となるから、畳み込み積は Lp × Lq → Lr なる連続双線型写像を定めている。
畳み込みに対するヤングの不等式、循環畳み込みや離散畳み込みなどほかの文脈でも成立する。また、 R 上では先に掲げた不等式はより厳しく評価できる: 先と同様の関係を持つ 1 < p, q, r < ∞ に対し、定数 Bp,q < 1 が存在して
‖ f ∗ g ‖ r ≤ B p , q ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q ( f ∈ L p ( R ) , g ∈ L q ( R ) ) . {\displaystyle \lVert f*g\rVert {r}\leq B{p,q}\lVert f\rVert {p}\,\lVert g\rVert {q}\quad (f\in L^{p}(\mathbb {R} ),\,g\in L^{q}(\mathbb {R} )).} Bp,q の最適値は Beckner (1975) にある[3]。より強い評価として 1 < p, q, r < ∞ に対し
‖ f ∗ g ‖ r ≤ C p , q ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q , w {\displaystyle \lVert f*g\rVert {r}\leq C{p,q}\lVert f\rVert {p}\,\lVert g\rVert {q,w}} も得られる。ただし、 ‖ g ‖q,w は弱 Lp-ノルムである。 1 < p, q, r < ∞ に対し弱い版のヤング不等式
‖ f ∗ g ‖ r , w ≤ C p , q ‖ f ‖ p , w ‖ g ‖ r , w {\displaystyle |f*g|_{r,w}\leq C_{p,q}|f|_{p,w}|g|_{r,w}} を考えれば、畳み込みは連続双線型写像 L p , w ( R ) × L q , w ( R ) → L r , w ( R ) {\displaystyle L^{p,w}(\mathbb {R} )\times L^{q,w}(\mathbb {R} )\to L^{r,w}(\mathbb {R} )} とも見られる[4]。
急減少函数 コンパクト台付きや可積分な函数と同様に、函数が無限遠で十分急速に減少（英語版）すれば畳み込みができて、それらの畳み込みもまた急速に減少することは重要な性質である。とくに f と g が急減少函数ならば、それらの畳み込み f ∗ g もまた急減少函数となる。このことを、畳み込みが微分と可換であるという事実と組み合わせれば、シュヴァルツ函数のクラスが畳み込みで閉じていることが導かれる[5]。
分布 →詳細は「シュヴァルツ超函数」を参照 適当な条件の下で、函数と分布あるいは分布同士の畳み込みが定義できる。 f がコンパクト台付き函数で G が分布ならば f ∗ G は、函数の畳み込みの式を分布版にした
∫ R d f ( x − y ) d G ( y ) {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)dG(y)} で定義される滑らかな函数である (G が密度函数 g を持てば通常の函数の畳み込みに書き直せる)。より一般に、試験函数 φ に対して結合律
f ∗ ( g ∗ φ
)
( f ∗ g ) ∗ φ {\displaystyle f(g\varphi )=(fg)\varphi } が成り立つような一意的な方法で畳み込みの定義を拡張することができて、それは f が分布、 g がコンパクト台付き分布のときには有効である[6]。
測度 二つの有界変動ボレル測度 μ と ν の畳み込みとは、
∫ R d f ( x ) d λ ( x
)
∫ R d ∫ R d f ( x + y ) d μ ( x ) d ν ( y ) {\displaystyle \int {\mathbf {R} ^{d}}f(x)d\lambda (x)=\int {\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x+y)\,d\mu (x)\,d\nu (y)} で定義される測度 λ を言う[7]。これは μ と ν を分布と見るとき、前節にいう分布の畳み込みに一致する。また μ と ν がルベーグ測度に関して絶対連続であるとき、それらの密度函数の L1-函数としての畳み込みとも一致する。
群上の畳み込み 適当な測度 λ を備えた群 G とその上の実または複素数値ルベーグ可積分函数 f と g が与えられれば、それらの畳み込みを
( f ∗ g ) ( x
)
∫ G f ( y ) g ( y − 1 x ) d λ ( y ) {\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,d\lambda (y)} で定義することができる。しかし一般には可換性が成り立たないことに注意すべきである。
局所コンパクト群上の不変積分の場合 典型的な場合として、 G が局所コンパクトハウスドルフ位相群で λ が左ハール測度（左不変測度）の場合である。右不変測度 ρ に対しても同様の積分
∫ f ( x y − 1 ) g ( y ) d ρ ( y ) {\displaystyle \int f(xy^{-1})g(y)\,d\rho (y)} を考えることができるが、 G が単模でないならば両者は一致しない。前者の定義では、固定した函数 g による畳み込みが群への左移動作用と可換:
L h ( f ∗ g
)
( L h f ) ∗ g {\displaystyle L_{h}(fg)=(L_{h}f)g} となることからよく選ばれる。さらにこの定義では後で述べる測度の畳み込みの定義と矛盾しない。一方、左不変ではなく右不変測度を取り、後者の定義を用いれば右移動作用と可換になる。
円周群 T にルベーグ測度を考えたものはよく知られた循環畳み込みの場合の例を与える: g ∈ L1(T) を固定して、ヒルベルト空間 L2(T) に作用するよく知られた作用素:
T f ( x
)
1 2 π ∫ T f ( y ) g ( x − y ) d y {\displaystyle T{f}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(x-y)\,dy} がとれる。作用素 T はコンパクト作用素である。直接計算により、その随伴作用素 T* は g(−y) による畳み込みであることが示せる。上で掲げた可換性により、 T は正規作用素 (TT = TT である。また T は平行移動作用素とも可換である。そのような畳み込み作用素と平行移動作用素全体の成す作用素族を S とすれば、 S は正規作用素からなる可換族である。ヒルベルト空間上のスペクトル論に従えば、 S を同時対角化する正規直交基底 {hk} が存在して、これが円周上の畳み込みを特徴付ける。具体的には
h k ( x
)
e i k x ( k ∈ Z ) {\displaystyle h_{k}(x)=e^{ikx}\quad (k\in \mathbb {Z} )} がちょうど T の指標の全体の成す集合に一致する。この基底に属する各畳み込み作用素がコンパクト乗算作用素であることが、上で述べた循環畳み込みに対する畳み込み定理としてみることができる。
離散畳み込みの例は位数 n の有限巡回群をとる。この場合の畳み込み作用素は巡回行列によって表現され、離散フーリエ変換によって対角化することができる。
考える位相群が実数の加法群 (R, +) のとき、その上の確率測度 μ と ν をとれば、測度の畳み込み μ ∗ ν は、分布 μ および ν に従う独立確率変数 X および Y の和 X + Y の確率分布に対応する。
性質 積分演算に由来する性質として以下の性質がある。
交換律: f ∗
g
g ∗ f {\displaystyle fg=gf} 結合律: ( f ∗ g ) ∗
h
f ∗ ( g ∗ h ) {\displaystyle (fg)h=f(gh)} 分配律: f ∗ ( g + h
)
( f ∗ g ) + ( f ∗ h ) {\displaystyle f(g+h)=(fg)+(f*h)} スカラー倍: a ( f ∗ g
)
( a f ) ∗
g
f ∗ ( a g ) {\displaystyle a(fg)=(af)g=f*(ag)}, a は任意の複素数。 微分: D ( f ∗ g
)
D f ∗
g
f ∗ D g {\displaystyle {\rm {D}}(fg)={\rm {D}}fg=f*{\rm {D}}g}, D は微分演算子（離散系の場合は Df(n) = f(n + 1) − f(n)） 畳み込み定理（英語版）: F ( f ∗ g
)
F ( f ) ⋅ F ( g ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)={\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)}, F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} はフーリエ変換 畳み込み定理 畳み込み定理（英語版）は次の式で示される。
F ( f ∗ g
)
F ( f ) ⋅ F ( g ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)={\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)} ここで F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} はフーリエ変換である。この定理によりフーリエ変換を使って畳み込み演算を単純な掛け算に変換することが出来る。この定理はラプラス変換・Z変換やメリン変換といった変換に対しても適用できる。
応用 確率測度における畳み込み 集合関数の一種である確率測度の畳み込みは次のように表現される。確率測度 μ1, μ2 において任意のボレル集合 B に対し、
( μ 1 ∗ μ 2 ) ( B
)
∫ 1 B ( x + y )
μ 1 ( d x ) μ 2 ( d y ) {\displaystyle (\mu {1}*\mu {2})(B)=\int 1_{B}(x+y)\ \mu {1}(dx)\mu {2}(dy)} と表現される。ここで1BはBの定義関数である。これは μ1, μ2 を集合関数として捉えて、変数変換することで求まる。これにより、μ1, μ2 を分布に持つ確率変数 X, Y においてその和 X + Y の分布が畳み込みにあたることが分かる。
多項式の掛け算 多項式の掛け算の結果の係数列は、元の多項式の係数列の線形畳み込みになる。実際
( ∑
i
0 m a i x i ) ( ∑
j
0 l b j x j
)
∑
k
0 m + l ( ∑ i +
j
k a i b j ) x
k
∑
k
0 m + l ( ∑
i
0 k a i b k − i ) x k {\displaystyle \left(\sum {i=0}^{m}a{i}x^{i}\right)\left(\sum {j=0}^{l}b{j}x^{j}\right)=\sum {k=0}^{m+l}\left(\sum {i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^{k}=\sum {k=0}^{m+l}\left(\sum {i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)x^{k}} であり、掛け算の結果の係数が a*b となる。
X + Y {\displaystyle S=X+Y} の確率密度関数は畳み込みによって与えられる。X, Y の確率密度関数をそれぞれ f X , f Y {\displaystyle f_{X},f_{Y}} と表記すると、S の密度関数は以下の式で与えられる。
f S ( s
)
∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( s − x ) d x {\displaystyle f_{S}(s)=\int {-\infty }^{\infty }f{X}(x)f_{Y}(s-x)\,dx}
歴史 畳み込み積分が用いられた最初期の例の一つは d’Alembert (1754) Recherches sur différents points importants du système du monde におけるテイラーの定理の導出にある[11]。また
∫ f ( u ) ⋅ g ( x − u ) d u {\displaystyle \int f(u)\cdot g(x-u){\mathit {du}}} の形の式は Lacroix（英語版） Treatise on differences and series[注釈 1] の505頁で用いられ[12]、そのすぐ後にLaplace、Fourier、Poissonらの研究に畳み込み演算が現れている。名称自体が広く用いられるようになるには1950年代あるいは1960年代を待たなければならない。それに先立ってはドイツ語: faltung（「畳み込み」）、composition product（「合成積」）、 superposition integral（「重ね合わせ積分」）などとも呼ばれ、あるいはカールソンの積分 (Carson’s integral)[13] とも言った。現代的な定義がより古い用例に馴染むわけでもないが、それでも早くは1903年ごろには出現している[14][15]。
合成積の特別の場合としての演算
∫ 0 t φ ( s ) ψ ( t − s ) d s ( 0 ≤ t < ∞ ) {\displaystyle \int _{0}^{t}\varphi (s)\psi (t-s){\mathit {ds}}\quad (0\leq t<\infty )} は Volterra (1913) “Leçons sur les fonctions de lignes” にある[16]
脚注 [脚注の使い方] 注釈 ^ 百科辞典シリーズ Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, Chez Courcier, Paris, 1797-1800. の最後の三巻 出典 ^ Hörmander 1983, Chapter 1. ^ Stein & Weiss 1971, Theorem 1.3. ^ Beckner, William (1975), “Inequalities in Fourier analysis”, Ann. of Math. (2) 102: 159–182. Independently, Brascamp, Herm J. and Lieb, Elliott H. (1976), “Best constants in Young’s inequality, its converse, and its generalization to more than three functions”, Advances in Math. 20: 151–173. See Brascamp–Lieb inequality ^ Reed & Simon 1975, IX.4. ^ Stein & Weiss 1971, Theorem 3.3. ^ Hörmander 1983, §4.2. ^ Rudin 1962. ^ “mode : {‘full’, ‘valid’, ‘same’}” NumPy. numpy.convolve. NumPy v1.24 docs. 2023-03-23閲覧. ^ “mode : str {‘full’, ‘valid’, ‘same’}” SciPy. scipy.signal.convolve. NumPy v1.10.1 docs. 2023-03-23閲覧. ^ “mode (str, optional) – Must be one of (“full”, “valid”, “same”).” TorchAudio. TORCHAUDIO.FUNCTIONAL.CONVOLVE. TorchAudio 2.0.1 docs. 2023-03-23閲覧. ^ Dominguez-Torres 2010, p. 2. ^ Dominguez-Torres 2010, p. 4. ^ R. N. Bracewell (2005), “Early work on imaging theory in radio astronomy”, in W. T. Sullivan, The Early Years of Radio Astronomy: Reflections Fifty Years After Jansky’s Discovery, Cambridge University Press, p. 172, ISBN 978-0-521-61602-7 ^ John Hilton Grace and Alfred Young (1903), The algebra of invariants, Cambridge University Press, p. 40 ^ Leonard Eugene Dickson (1914), Algebraic invariants, J. Wiley, p. 85 ^ Lothar von Wolfersdorf (2000), “Einige Klassen quadratischer Integralgleichungen”, Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, volume 128, number 2, 6–7 参考文献 Dominguez-Torres, Alejandro (Nov 2, 2010). “Origin and history of convolution”. 41 pgs. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution. Cranfield, Bedford MK43 OAL, UK. Retrieved Mar 13, 2013. Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., 256, Springer, ISBN 3-540-12104-8, MR0717035 Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness, New York-London: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, pp. xv+361, ISBN 0-12-585002-6, MR0493420 Rudin, Walter (1962), Fourier analysis on groups, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 12, Interscience Publishers (a division of John Wiley and Sons), New York–London, ISBN 0-471-52364-X, MR0152834. 関連項目 逆畳み込み ブラインド・デコンボリューション インパルス応答 – 伝達関数 フーリエ変換 – ラプラス変換 軟化子 基本解 自己回帰移動平均モデル 巡回行列 アナログ信号処理 コーシー積 積和演算 外部リンク 『合成積（畳み込み）の意味と応用３つ』 – 高校数学の美しい物語 Weisstein, Eric W. “Convolution”. mathworld.wolfram.com (英語). convolution – PlanetMath.（英語） Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Convolution of functions”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Convolution transform”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 The Joy of Convolution Java Applet を使った視覚的な畳み込みの説明 Examples of sampled impulse responses to be used in convolution reverbs (Fokke Van Saane) Examples of impulse responses synthesized from oscillator spectra, to be used in convolution reverbs (Emmanuel Deruty) BruteFIR; A software for applying long FIR filters to multi-channel digital audio, either offline or in realtime. Freeverb3 Reverb Impulse Response Processor: DSP library with convolution engines. 表話編歴 データ圧縮方式 可逆 エントロピー符号 一進法算術Asymmetric numeral systems（英語版）ゴロムハフマン 適応型（英語版）正準（英語版）MHレンジシャノンシャノン・ファノシャノン・ファノ・イライアス（英語版）タンストール（英語版）ユニバーサル（英語版） 指数ゴロム（英語版）フィボナッチ（英語版）ガンマデルタレーベンシュタイン（英語版） 辞書式（英語版） BPEDeflateLempel-Ziv LZ77LZ78LZFSELZHLZJB（英語版）LZMALZOLZRW（英語版）LZS（英語版）LZSSLZWLZWL（英語版）LZXLZ4ROLZ（英語版）統計型（英語版）BrotliSnappyZstandard その他 BWTCTW（英語版）DeltaDMC（英語版）MTFPAQPPMRLE 音声 理論 ビットレート 平均(ABR)固定(CBR)可変(VBR)コンパンディング畳み込みダイナミックレンジレイテンシ（英語版）標本化定理標本化音質音声符号化サブバンド符号化変換符号化知覚符号化 コーデック A-lawμ-lawACELPADPCMCELPDPCMフーリエ変換LPC LARLSPMDCT音響心理学WLPC 画像 理論 クロマサブサンプリング符号化ツリーユニット（英語版）色空間圧縮アーティファクト解像度マクロブロックピクセルPSNR量子化（英語版）標準テストイメージ（英語版） 手法 チェインコード（英語版）DCTEZW（英語版）フラクタルKLT（英語版）ピラミッド（英語版）RLESPIHT（英語版）ウェーブレット 映像 理論 ビットレート 平均(ABR)固定(CBR)可変(VBR)画面解像度フレームフレームレートインターレース映像品質（英語版） コーデック（英語版） 重複変換（英語版）DCTデブロッキングフィルタ（英語版）フレーム間予測 理論 情報量複雑性非可逆量子化レート歪み（英語版）冗長性情報理論の年表（英語版） カテゴリ: 関数解析学制御工学信号処理フーリエ解析双線型演算数学に関する記事 最終更新 2024年2月8日 (木) 09:52 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。 テキストはクリエイティブ・コモンズ 表示-継承ライセンスのもとで利用できます。追加の条件が適用される場合があります。詳細については利用規約を参照してください。』
a ∼ b ⟺ a − b ∈ I {\displaystyle a\sim b\iff a-b\in I} によって二項関係 ～ を定義すると、これは同値関係になる。
この同値関係による商集合には自然に演算が定義できて、環になることが分かる。
新しく作られたこの環を R のイデアル I による剰余環と呼び、R/I と書く。商環と呼ばれる場合もある。
環の準同型の核はイデアルであり、逆にイデアルはある環準同型の核になる。
群の場合と同じように、環についても準同型定理が成り立つ。
すなわち、
f : R 1 → R 2 が準同型ならば、R 1 の核による剰余環 R 1/Ker f は準同型の像 Im f と同型である。
イデアルと合同関係
環構造と両立する同値関係である合同関係とイデアルとの間には一対一対応が存在する。 即ち、環 R のイデアル I が与えられたとき、x ～ y ⇔ x − y ∈ I で定義される関係 ～ は R 上の合同関係であり、逆に R 上の合同関係 ～ が与えられたとき I = {x : x ～ 0} は R 上のイデアルになる。
イデアルの生成
R を（必ずしも単位的でない）環とする。
R の空でない左イデアルの族の交わりはまた左イデアルになる。
R の任意の部分集合 X に対し、R の X を含む任意のイデアル全ての交わり I はやはり X を含む左イデアルであって、また明らかにそのようなイデアルの中で最小である。
R が単位的ならば、R の部分集合 X が生成する左、右、両側イデアルは内部的な演算によって記述することができる。即ち、X の生成する左イデアルは
{ r 1 x 1 + ⋯ + r n x n ∣ n ∈ N , r i ∈ R , x i ∈ X } {\displaystyle {r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X}} によって与えられる。
実際これが左イデアルを成し、これらの元が X を含む任意のイデアルに属することは明らかであるから、確かにこれは X の生成する左イデアルである。同様に X の生成する右、両側イデアルはそれぞれ
{ x 1 r 1 + ⋯ + x n r n ∣ n ∈ N , r i ∈ R , x i ∈ X } , {\displaystyle {x_{1}r_{1}+\dots +x_{n}r_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X},} { r 1 x 1 s 1 + ⋯ + r n x n s n ∣ n ∈ N , r i ∈ R , s i ∈ R , x i ∈ X } {\displaystyle {r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X}} によって与えられる。
規約として、0 は0 項からなる和と見做すことにより、イデアル {0} は空集合 ∅ の生成する R のイデアルと考える。
R の左イデアル I が R の有限集合 F によって生成されるならば、イデアル I は有限生成であるという。有限集合で生成される右イデアル、両側イデアルについても同様である。
生成系 X が R の適当な元 a のみからなる単元集合 {a} とすると、X = {a} の生成する各イデアルは簡単に
R
a
{ r a ∣ r ∈ R } , {\displaystyle Ra={ra\mid r\in R},} a
R
{ a r ∣ r ∈ R } , {\displaystyle aR={ar\mid r\in R},} R a
R
{ r 1 a s 1 + ⋯ + r n a s n ∣ n ∈ N , r i ∈ R , s i ∈ R } {\displaystyle RaR={r_{1}as_{1}+\dots +r_{n}as_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R}} と言う形に書くことができる。
これらは a によって生成される左、右、両側の主イデアル（単項イデアル）と呼ばれる。a の生成する両側イデアルを簡単に (a ) と書くことも広く行われている。
上で述べたことは、単位的でない環 R に対しては少しく変更が必要である。
X の元の有限積和に加えて、任意の自然数 n と X の元 x に対して、x の n-重和 x + x + … + x および (−x) + (−x) + … + (−x) を考えるのである。単位的環 R に対してはこの余分な仮定は過剰な条件になる。
整数環 Z はその任意のイデアルがただ一つの数で生成され（したがって Z は主イデアル整域）、主イデアル nZ の生成元は n または −n のちょうど二つである
（その意味ではイデアルと整数との差異はこの環ではほぼ分からない）。
任意の整域において aR = bR は、適当な単元 u が存在して au = b を満たすことを意味し、逆に任意の単元 u に対して aR = auu−1R = auR が満たされる。
故に可換主イデアル整域において、主イデアル aR を任意の単元 u に対する au が生成することができる。
Z の単元は 1 と −1 の二つのみであるから、これは Z の場合をも含んでいる。
イデアルの演算
I, J を環 R の左（右）イデアルとする。I, J の和を
I + J := { a + b ∣ a ∈ I , b ∈ J } {\displaystyle I+J:={a+b\mid a\in I,\,b\in J}} で定義すると、これは I, J を含む左（右）イデアルのうち最小のものである。
また、I と J の積集合 I ∩ J は I, J に含まれる左（右）イデアルのうち、最大のものである。
しかし、和集合 I ∪ J は必ずしもイデアルにならない。
I と J が共に両側イデアルのとき、それらの積を
I J := { a 1 b 1 + ⋯ + a n b n ∣ n ∈ N , a i ∈ I , b i ∈ J } {\displaystyle IJ:={a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,\,a_{i}\in I,\,b_{i}\in J}} で定義すると、これはまた両側イデアルであり、I ∩ J に含まれる。
積の定義は、単なる I の元と J の元の積ではなく、その有限和全体の集合であることに注意する必要がある。
これらの間の包含関係をまとめると次のようになる。
I J ⊂ I ∩ J ⊂ I , J ⊂ I ∪ J ⊂ I + J {\displaystyle IJ\subset I\cap J\subset I,\,J\subset I\cup J\subset I+J}
ただし、最初の包含関係は、I, J が両側イデアルの場合である。
性質
任意の環 R において {0} および R はイデアルになる。
R が可除環または体ならば、そのイデアルはこれらのみである。
イデアル R は単位イデアル (unit ideal )、イデアル {0} は零イデアル (zero ideal ) と呼ばれ、これらは自明なイデアル (trivial ideal ) と総称される。イデアル I が真のイデアル (proper ideal ) とはそれが R の真の部分集合となること、つまり R と異なるイデアルとなることを言う[1]。 正規部分群が群準同型の核となることとまったく同じように、イデアルを準同型の核として捉えることができる。R の空でない部分集合 A について A が R のイデアルとなる必要十分条件はそれが適当な環準同型の核となることである。 A が R の右イデアルとなる必要十分条件はそれが右 R –加群 RR から別の適当な右 R –加群への適当な加群準同型の核となることである。 A が R の左イデアルとなる必要十分条件はそれが左 R –加群 RR から別の適当な左 R –加群への適当な加群準同型の核となることである。 剰余類とイデアルとの間の関係は、乗法と加法を剰余環へ写せることとして理解することができる。 環が単位元を持つとき、イデアルが真のイデアルとなる必要十分条件は、それが単位元を含まないこと、従って任意の単元を含まないことである。 任意の環において、そのイデアル全体の成す集合は包含関係に関して半順序集合を成す。実はこれはさらに、完備モジュラー束でイデアルの和を結び演算（英語版）に、集合の交わりを交わり演算（英語版）に持つ。このとき自明なイデアルは最小元（零イデアル）と最大元（単位イデアル）を与える。この束は一般には分配束（英語版）にならない。 R の真のイデアル全体の成す集合を考えるのにはツォルンの補題を必要としないが、R が単位元 1 を持つとき「1 を含まないイデアル全体の成す集合」を考えるならば、ツォルンの補題を適用して、帰結として真の極大イデアルの存在を確かめることができる。より明確に言えば、任意の真のイデアルに対して、それを含む極大イデアルが存在することが示せる（極大イデアルの項のクルルの定理を参照）。 環 R をそれ自身左 R-加群と見做すことができるが、このとき R の左イデアルはその R に含まれる左 R-部分加群と見做される。同様に右イデアルも、自身の上の右加群と見た R の右 R-部分加群であり、両側イデアルは R-両側加群としての R の R-部分加群である。R が可換の時はイデアルがそうであるように、これら三種の加群はすべて一致する。 任意のイデアルは擬環である。 環 R のイデアル全体はイデアルの和と積に関して（R を単位元とする）半環になる。 イデアルの種類 以下簡単のため可換環でのみ考えることにして、非可換版の詳しい話は各項に譲る。 イデアルの重要性は、それが環準同型の核となることであり、また剰余環を定義することができることにある。異なる種類の剰余環が定義できると言うことに従って、様々な種類のイデアルが考えられる。
極大イデアル 真のイデアル I が極大イデアル (maximal ideal) であるとは、I を真に含む真のイデアル J が存在しないことを言う。極大イデアルによる商は一般には単純環、可換環の場合は体になる[2]。 極小イデアル ゼロでないイデアルが極小 (minimal) であるとは、それが零でも自身でもないイデアルを含まないことを言う。 素イデアル 真のイデアル I が素イデアル (prime ideal) であるとは、R の元 a, b が ab ∈ I を満たすならば必ず a と b の少なくとも一方が I に属すことを言う。素イデアルによる商は一般には素環、可換の場合は整域となる。 根基イデアルまたは半素イデアル 真のイデアル I が根基 (radical) または半素 (semiprime) であるとは、R の任意の元 a に対してその適当な冪 an が I に属すならば a ∈ I となることを言う。根基イデアルによる商は、一般には半素環であり、可換の場合は被約環になる。 準素イデアル イデアル I が準素イデアル (primary ideal) とは、R の元 a, b が ab ∈ I を満たすとき、a ∉ I ならば bn ∈ I が適当な正の整数 n に対して成り立つことを言う。任意の素イデアルは準素イデアルだが逆は必ずしも成り立たない。半素な準素イデアルは素イデアルである。 主イデアル 単項生成なイデアル。 有限生成イデアル 加群として有限生成なイデアル。 原始イデアル 左単純加群の零化域を左原始イデアルと呼ぶ。右原始イデアルも同様。しかしその名称にも拘らず、左または右原始イデアルは実は常に両側イデアルになる。原始イデアルは素イデアルである。左（または右）原始イデアルによる商は左（または右）原始環と言う。可換環の場合は原始イデアルは極大であり、従って原始環は体になる。 既約イデアル イデアルが既約 (irreducible) であるとは、それがそれを真に含むイデアルの交わりに書けないことを言う。 互いに素なイデアル 2つのイデアル I, J が互いに素 (coprime または comaximal) であるとは I + J = R となることを言う。 正則イデアル（英語版） いくつか異なる流儀がある。 冪零元イデアル（英語版） イデアルが冪零元イデアル (nil ideal) とは、その任意の元が冪零であることを言う。 必ずしも環の中で閉じているわけではないが、「イデアル」と呼ばれる重要な例を二つ挙げる。詳細はそれぞれの項を参照。
分数イデアル：通常は R が商体 K を持つ可換整域である場合に定義される。名前が示唆する通り、分数イデアル (fractional ideal ) は K の特別な性質を持つ R –部分加群である。分数イデアルが完全に R に含まれる時には、真に R のイデアルを成す。 可逆イデアル：通常は、可逆イデアル (invertible ideal) A は分数イデアルであって、別の分数イデアル B で AB = BA = R を満たすものが取れるものと定義される。文献によっては、R が整域ではなく一般の環で、通常のイデアル A, B が AB = BA = R を満たすときに、「可逆イデアル」と言う呼称を用いるものがある。 歴史 通説にしたがってイデアルの成立史を述べる[3][注釈 1]。19世紀のドイツの数学者であるクンマーはフェルマーの最終定理を証明しようと研究していた[注釈 2]。その中で彼は、代数的整数に関しては有理整数の場合のような素因数分解の一意性が必ずしも成り立たないという問題に直面した。
関連項目 合同算術 ネーターの同型定理 ブールの素イデアル定理（英語版） イデアル論（英語版） イデアル商 イデアルノルム（英語版） アルティンイデアル（英語版） 可換環 非可換環 正則イデアル（英語版） イデアル化半群（英語版） 束 (束論) 脚注 [脚注の使い方] 注釈 ^ ここで述べる通説には細部において批判的意見も提出されているが、それについては適宜脚注にて記載する。理想数も参照のこと。 ^ クンマーの主な動機は高次相互法則であり、フェルマーの最終定理ではなかった、という指摘がある。Harold M. Edwards, Fermat’s Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, p. 79, – Google ブックス ^ クンマーの論文は「理想数」を「イデアル」に置き換えることで容易に読むことができる、という主張もある。Lemmermeyer, Franz (2011). “Jacobi and Kummer’s Ideal Numbers”. p. 2. arXiv:1108.6066。また、アンドレ・ヴェイユによれば、クンマーの論文は驚くほど間違いが少ない。Mazur, Barry (1977). page = 980 “Review: André Weil, Ernst Edward Kummer, Collected Papers”. Bulletin of the American Mathematical Society 83 (5): 976–988. 出典 ^ Lang 2005, Section III.2 ^ 可換単純環は体である。See Lam (2001), p. 39. ^ 高木 1931, pp. 321-323. ^ a b 高木 1931, p. 323. ^ The Story of Algebraic Numbers in the First Half of the 20th Century: From Hilbert to Tate, p. 43, – Google ブックス ^ Dirichlet; Dedekind (1871). Vorlesungen über Zahlentheorie (2 ed.). p. 452 参考文献 Serge Lang (2005). Undergraduate Algebra (Third ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22025-3 Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko (2004). Algebras, rings and modules. 1. Springer–Verlag. ISBN 1-4020-2690-0 高木貞治『初等整数論講義』共立社書店、1931年。NDLJP:1174277。 Marco Fontana, Evan Houston, Thomas Lucas: “Factoring Ideals in Integral Domains”, Springer, ISBN 978-3-642-31711-8 (2013). 典拠管理データベース ウィキデータを編集 全般 FAST 国立図書館 フランスBnF dataドイツイスラエルアメリカ カテゴリ: 環論代数的整数論数学に関する記事 最終更新 2024年2月20日 (火) 12:52 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。 テキストはクリエイティブ・コモンズ 表示-継承ライセンスのもとで利用できます。追加の条件が適用される場合があります。詳細については利用規約を参照してください。』
ジジイがあれこれ考えた 