1593年に『A Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John』（ヨハネの黙示録の真相）を出版し、カトリック教会を激しく批判した。また、この中で、最後の審判の日を1688年ないし1700年と予言している。この本は好評で、ネイピアの死後も版を重ね 21 版まで出版された。また、多言語に渡り翻訳もされて広く読まれた。
【解説マップ】ソクラテスの哲学思想を図解でわかりやすく（著書や名言まで） ① 無知の知： 自分の無知を知ることの大切さ 上にも書いたように、ソクラテスの有名な言葉に「無知の知」があります。これは、「自分が何も知らないことを知っている」という意味です。ソクラテスは、人々が自分の知識や能力を過大評価していることに気づき、まず自分の無知を自覚することが重要だと考えました。
Carnelian gem imprint representing Socrates, Rome, 1st century BC–1st century AD (left); Wall painting at a house depicting Socrates, 1st–5th century AD, Museum of Ephesus (right)
^ なお、幾何学に関しては、ディオゲネス・ラエルティオスの『列伝』2.32にもクセノポンと同様の記述が見られる。 ^ アルキビアデスは騎兵として参加、当時の回想が『饗宴』に書かれている。 ^ 同時にそれがまったくのでっちあげであれば揶揄としての効果を持たないことから、何らかの真実を含んでいるとも考えられる。 ^ 伝統的にプラトンの著作と見なされ、時々、真筆性に疑問を投げかけられているものに『クレイトポン』がある。この対話篇では、ソクラテスは登場するものも影は薄く、「善とは何か？」という極限的な問題について何ら積極的な解答を与えないソクラテスへのクレイトポンの非難が主な内容を成している。ただし、これを『国家』の習作と見なす態度もある[42]。 ^ イギリスの哲学者バートランド・ラッセルは『西洋哲学史』においてソクラテスを「オルフィック教の聖者」と呼んだ。 出典 ^ “Socrates”. Encyclopedia Britannica. Encyclopedia Britannica, Inc. (2017年8月16日). 2017年10月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年11月20日閲覧。 ^ Jones, Daniel; Roach, Peter, James Hartman and Jane Setter, eds. Cambridge English Pronouncing Dictionary. 17th edition. Cambridge UP, 2006. ^ Easterling, P. E. (1997). The Cambridge Companion to Greek Tragedy. Cambridge University Press. p. 352. ISBN 978-0-521-42351-9. オリジナルの1 December 2017時点におけるアーカイブ。 2017年11月19日閲覧。 ^ Smith, Nicholas D.; Woodruff, Paul (2000). Reason and Religion in Socratic Philosophy. Oxford University Press. p. 154. 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出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2018年8月） プラトン『ソクラテスの弁明・クリトン』久保勉訳（第92刷改版）、岩波書店〈岩波文庫〉、2007年4月。 メアリアン・ウルフ 著、小松淳子 訳『プルーストとイカ…読書は脳をどのように変えるのか?』（初版）インターシフト（原著2008年10月15日）。ISBN 9784772695138。 加来彰俊『ソクラテスはなぜ死んだのか』岩波書店、2004年 F・M・コーンフォード 『ソクラテス以前以後』山田道夫訳、岩波文庫、1995年 斎藤忍随『知者たちの言葉 ソクラテス以前』岩波新書、初版1976年 田中美知太郎 『ソクラテス』 岩波新書、初版1957年。ISBN 4004120195 西部邁「98 ソクラテス」『学問』講談社、2004年、318-320頁。ISBN 4-06-212369-X。 納富信留『哲学者の誕生 ソクラテスをめぐる人々』ちくま新書、2005年 ディオゲネス・ラエルティオス・加来彰俊訳 『ギリシア哲学者列伝（上）』 岩波文庫、初版1984年。ISBN 400336631X Ahbel-Rappe, Sara (2011). Socrates: A Guide for the Perplexed. A&C Black. ISBN 978-0-8264-3325-1 Alon, Ilai (2009). “Socrates in Arabic Philosophy”. A Companion to Socrates. Wiley. pp. 313–326. doi:10.1002/9780470996218.ch20. ISBN 978-1-4051-5458-1 Bowman, Brady (2019). “Hegel on Socrates and the Historical Advent of Moral Self-Consciousness”. In Kyriakos N. Demetriou. Brill’s Companion to the Reception of Socrates. Brill. pp. 749–792. doi:10.1163/9789004396753_030. ISBN 978-90-04-39675-3 Coppens, Philip, “Socrates, that’s the question” Feature Articles– Biographies, PhilipCoppens.com. Guthrie, W. K. C. (1972). A History of Greek Philosophy: Volume 3, The Fifth Century Enlightenment, Part 2, Socrates. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511518454. ISBN 978-0-521-09667-6 Hankins, James (2009). “Socrates in the Italian Renaissance”. A Companion to Socrates. Wiley. pp. 337–352. doi:10.1002/9780470996218.ch21. ISBN 978-1-4051-5458-1 May, Hope (2000). On Socrates. Belmont, CA: Wadsworth. ISBN 0-534-57604-4 McLean, Daniel R. (2009). “The Private Life of Socrates in Early Modern France”. A Companion to Socrates. Wiley. pp. 353–367. doi:10.1002/9780470996218.ch22. ISBN 978-1-4051-5458-1 Muench, Paul (2009). “Kierkegaard’s Socratic Point of View”. In Sara Ahbel-Rappe. A Companion to Socrates. Rachana Kamtekar. Wiley. pp. 389–405. doi:10.1002/9780470996218.ch24. ISBN 978-1-4051-5458-1 Long, A.A. (2011). “Socrates in Later Greek Philosophy”. In Donald R. Morrison. The Cambridge Companion to Socrates. Cambridge University Press. pp. 355–379. doi:10.1017/CCOL9780521833424.015. ISBN 978-0-521-83342-4 Loughlin, Felicity P. (2019). “Socrates and Religious Debate in the Scottish Enlightenment”. In Kyriakos N. Demetriou. Brill’s Companion to the Reception of Socrates. Brill. pp. 658–683. doi:10.1163/9789004396753_027. ISBN 978-90-04-39675-3 Ong, Walter (2002). Orality and Literacy. New York: Routledge. ISBN 0-415-28129-6 Kagan, Donald. The Fall of the Athenian Empire. First. Ithaca, New York: Cornell University Press, 1987. Pausanias, Description of Greece. W. H. S. Jones (translator). Loeb Classical Library. Cambridge, MA: Harvard University Press; London, William Heinemann Ltd. (1918). Vol. 1. Books I–II: ISBN 0-674-99104-4. Vol. 4. Books VIII.22–X: ISBN 0-674-99328-4. Porter, James I. (2009). “Nietzsche and ‘The Problem of Socrates’”. In Sara Ahbel-Rappe. A Companion to Socrates. Rachana Kamtekar. Wiley. pp. 406–425. doi:10.1002/9780470996218.ch25. ISBN 978-1-4051-5458-1 Porter, James I. (2009). “Nietzsche and ‘The Problem of Socrates’”. In Sara Ahbel-Rappe. A Companion to Socrates. Rachana Kamtekar. Wiley. pp. 406–425. doi:10.1002/9780470996218.ch25. ISBN 978-1-4051-5458-1 Raymond, Christopher C. (2019). “Nietzsche’s Revaluation of Socrates”. In Kyriakos N. Demetriou. Brill’s Companion to the Reception of Socrates. Brill. pp. 837–683. doi:10.1163/9789004396753_033. ISBN 978-90-04-39675-3 Schur, David; Yamato, Lori (2019). “Kierkegaard’s Socratic Way of Writing”. In Kyriakos N. Demetriou. Brill’s Companion to the Reception of Socrates. Brill Publishers. pp. 820–836. doi:10.1163/9789004396753_032. ISBN 978-90-04-39675-3 Thucydides; The Peloponnesian War. London, J. M. Dent; New York, E. P. Dutton. 1910.[1] Trizio, Michele (2019). “Socrates in Byzantium”. Brill’s Companion to the Reception of Socrates. Brill Publishers. pp. 592–618. doi:10.1163/9789004396753_024. ISBN 978-90-04-39675-3 Vlastos, Gregory (1991). Socrates, Ironist and Moral Philosopher. Ithaca: Cornell University Press. ISBN 0-8014-9787-6 White, Nicholas (2009). “Socrates in Hegel and Others”. In Sara Ahbel-Rappe. A Companion to Socrates. Rachana Kamtekar. Wiley. pp. 368–387. doi:10.1002/9780470996218.ch23. ISBN 978-1-4051-5458-1 関連項目
ギリシア哲学（ギリシアてつがく、ギリシャ哲学、ギリシア語: Αρχαία ελληνική φιλοσοφία[注 1]、ラテン語: Philosophia Graeca antiqua[注 1]）とは、古代ギリシアで興った哲学の総称。現在でいう哲学のみならず、物理学（自然哲学）や数学を含む学問や学究的営為の総称である。
^ Richard Dedekind, Theory of algebraic integers, p. 5, – Google ブックス スタブアイコン この項目は、抽象代数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。
正方形がRC回路に入力された場合の出力信号波形を得るために、RC回路のインパルス応答と方形波の畳み込みを行っている。 黄色の領域で示されている面積が合成積である。 畳み込み（たたみこみ、英: convolution）とは、関数 g を平行移動しながら関数 f に重ね足し合わせる二項演算である。あるいはコンボリューションとも呼ばれる。
定義 一次元 連続 連続関数 f, g の畳み込み f ∗ g は以下のように定義される：
( f ∗ g ) ( t
)
∫ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ {\displaystyle (f*g)(t)=\int f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } 積分を用いて2つの関数を合わせることから畳み込み積分、合成積、重畳積分とも呼ばれる。
積分範囲は関数の定義域に依存する。通常は区間 (−∞, +∞) で定義される関数を扱うことが多いので、積分範囲は −∞ から +∞ で計算されることが多い。一方 f, g が有限区間でしか定義されない場合には、g(t − τ) が定義域内に入るように f, g を周期関数と見なして計算される。この周期関数と見なして畳み込みをすることを循環畳み込み（じゅんかんたたみこみ、英: cyclic convolution）と呼ぶ。
離散 離散信号 f, g の畳み込み f ∗ g は以下のように定義される：
( f ∗ g ) ( m
)
∑ n f ( n ) g ( m − n ) {\displaystyle (f*g)(m)=\sum _{n}{f(n)\,g(m-n)}} すなわち積分のかわりに総和を使って同様に定義される。そのため畳み込み和・重畳和とも呼ばれる。
総和の範囲も関数の定義域に依存し、関数が有限区間でしか定義されていない場合は周期関数とみなして畳み込み演算が行われる。また定義域外の値を 0 と定義し直した関数での畳み込みがよく行われる。これを線形畳み込み（せんけいたたみこみ、英: linear convolution）あるいは直線畳み込み（ちょくせんたたみこみ）と呼ぶ。
高次元 Rd 上の複素数値函数 fと g の畳み込みは、それ自身が Rd 上の複素数値函数として
( f ∗ g ) ( x
)
∫ R d f ( y ) g ( x − y ) d
y
∫ R d f ( x − y ) g ( y ) d y {\displaystyle (f*g)(x)=\int {\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int {\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy} で定義されるものであるが、右辺の積分が存在してこれが定義可能となるには、fと g が無限遠において十分急速に減少する（英語版）必要がある。とはいえ、たとえば g が無限遠において爆発するとしても、その影響は f が十分に急減少であれば容易に打ち消すことができるから、この積分の存在条件は込み入ったものも考え得る。この問題をクリアする函数の条件としてよく用いられる場合を以下に挙げる。
コンパクト台付き函数 函数 f と g がともにコンパクト台連続函数ならば、それらの畳み込みは存在して、やはりコンパクト台連続函数となる[1]。より一般に、一方がコンパクト台、他方が局所可積分函数ならば、畳み込み f ∗ g が定義されて連続である。
R 上では両者が局所自乗可積分の場合、あるいは両者がともに半無限区間 [a, +∞) (あるいはともに (-∞, a]) に台を持つ場合でも畳み込みが定まる。
可積分函数 函数 f と g がともにL1(Rd)に属するルベーグ可積分函数ならば、それらの畳み込み f ∗ g が存在してやはり可積分である[2]。これはトネリの定理の帰結である。このことは ℓ1 に属する数列の離散畳み込みや、より一般の群上の L1 の畳み込みでも成立する。
同様にして、 f ∈ L1(Rd) と g ∈ Lp(Rd) が 1 ≤ p ≤ ∞ のとき、 f ∗ g ∈ Lp(Rd) かつ
‖ f ∗ g ‖ p ≤ ‖ f ‖ 1 ‖ g ‖ p {\displaystyle |{f}*g|_{p}\leq |f|_{1}|g|_{p}} を満たす。特に p = 1 のとき、これにより L1 は畳み込みを積としてバナッハ代数を成す(また、等号成立は f と g がともに殆ど至る所非負のときである。)
1 r + 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1} なる関係を満足するとして、
‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q ( f ∈ L p ( R d ) , g ∈ L q ( R d ) ) {\displaystyle \lVert f*g\rVert {r}\leq \lVert f\rVert {p}\,\lVert g\rVert _{q}\quad (f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),\,g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{d}))} となるから、畳み込み積は Lp × Lq → Lr なる連続双線型写像を定めている。
畳み込みに対するヤングの不等式、循環畳み込みや離散畳み込みなどほかの文脈でも成立する。また、 R 上では先に掲げた不等式はより厳しく評価できる: 先と同様の関係を持つ 1 < p, q, r < ∞ に対し、定数 Bp,q < 1 が存在して
‖ f ∗ g ‖ r ≤ B p , q ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q ( f ∈ L p ( R ) , g ∈ L q ( R ) ) . {\displaystyle \lVert f*g\rVert {r}\leq B{p,q}\lVert f\rVert {p}\,\lVert g\rVert {q}\quad (f\in L^{p}(\mathbb {R} ),\,g\in L^{q}(\mathbb {R} )).} Bp,q の最適値は Beckner (1975) にある[3]。より強い評価として 1 < p, q, r < ∞ に対し
‖ f ∗ g ‖ r ≤ C p , q ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q , w {\displaystyle \lVert f*g\rVert {r}\leq C{p,q}\lVert f\rVert {p}\,\lVert g\rVert {q,w}} も得られる。ただし、 ‖ g ‖q,w は弱 Lp-ノルムである。 1 < p, q, r < ∞ に対し弱い版のヤング不等式
‖ f ∗ g ‖ r , w ≤ C p , q ‖ f ‖ p , w ‖ g ‖ r , w {\displaystyle |f*g|_{r,w}\leq C_{p,q}|f|_{p,w}|g|_{r,w}} を考えれば、畳み込みは連続双線型写像 L p , w ( R ) × L q , w ( R ) → L r , w ( R ) {\displaystyle L^{p,w}(\mathbb {R} )\times L^{q,w}(\mathbb {R} )\to L^{r,w}(\mathbb {R} )} とも見られる[4]。
急減少函数 コンパクト台付きや可積分な函数と同様に、函数が無限遠で十分急速に減少（英語版）すれば畳み込みができて、それらの畳み込みもまた急速に減少することは重要な性質である。とくに f と g が急減少函数ならば、それらの畳み込み f ∗ g もまた急減少函数となる。このことを、畳み込みが微分と可換であるという事実と組み合わせれば、シュヴァルツ函数のクラスが畳み込みで閉じていることが導かれる[5]。
分布 →詳細は「シュヴァルツ超函数」を参照 適当な条件の下で、函数と分布あるいは分布同士の畳み込みが定義できる。 f がコンパクト台付き函数で G が分布ならば f ∗ G は、函数の畳み込みの式を分布版にした
∫ R d f ( x − y ) d G ( y ) {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)dG(y)} で定義される滑らかな函数である (G が密度函数 g を持てば通常の函数の畳み込みに書き直せる)。より一般に、試験函数 φ に対して結合律
f ∗ ( g ∗ φ
)
( f ∗ g ) ∗ φ {\displaystyle f(g\varphi )=(fg)\varphi } が成り立つような一意的な方法で畳み込みの定義を拡張することができて、それは f が分布、 g がコンパクト台付き分布のときには有効である[6]。
測度 二つの有界変動ボレル測度 μ と ν の畳み込みとは、
∫ R d f ( x ) d λ ( x
)
∫ R d ∫ R d f ( x + y ) d μ ( x ) d ν ( y ) {\displaystyle \int {\mathbf {R} ^{d}}f(x)d\lambda (x)=\int {\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x+y)\,d\mu (x)\,d\nu (y)} で定義される測度 λ を言う[7]。これは μ と ν を分布と見るとき、前節にいう分布の畳み込みに一致する。また μ と ν がルベーグ測度に関して絶対連続であるとき、それらの密度函数の L1-函数としての畳み込みとも一致する。
群上の畳み込み 適当な測度 λ を備えた群 G とその上の実または複素数値ルベーグ可積分函数 f と g が与えられれば、それらの畳み込みを
( f ∗ g ) ( x
)
∫ G f ( y ) g ( y − 1 x ) d λ ( y ) {\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,d\lambda (y)} で定義することができる。しかし一般には可換性が成り立たないことに注意すべきである。
局所コンパクト群上の不変積分の場合 典型的な場合として、 G が局所コンパクトハウスドルフ位相群で λ が左ハール測度（左不変測度）の場合である。右不変測度 ρ に対しても同様の積分
∫ f ( x y − 1 ) g ( y ) d ρ ( y ) {\displaystyle \int f(xy^{-1})g(y)\,d\rho (y)} を考えることができるが、 G が単模でないならば両者は一致しない。前者の定義では、固定した函数 g による畳み込みが群への左移動作用と可換:
L h ( f ∗ g
)
( L h f ) ∗ g {\displaystyle L_{h}(fg)=(L_{h}f)g} となることからよく選ばれる。さらにこの定義では後で述べる測度の畳み込みの定義と矛盾しない。一方、左不変ではなく右不変測度を取り、後者の定義を用いれば右移動作用と可換になる。
円周群 T にルベーグ測度を考えたものはよく知られた循環畳み込みの場合の例を与える: g ∈ L1(T) を固定して、ヒルベルト空間 L2(T) に作用するよく知られた作用素:
T f ( x
)
1 2 π ∫ T f ( y ) g ( x − y ) d y {\displaystyle T{f}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(x-y)\,dy} がとれる。作用素 T はコンパクト作用素である。直接計算により、その随伴作用素 T* は g(−y) による畳み込みであることが示せる。上で掲げた可換性により、 T は正規作用素 (TT = TT である。また T は平行移動作用素とも可換である。そのような畳み込み作用素と平行移動作用素全体の成す作用素族を S とすれば、 S は正規作用素からなる可換族である。ヒルベルト空間上のスペクトル論に従えば、 S を同時対角化する正規直交基底 {hk} が存在して、これが円周上の畳み込みを特徴付ける。具体的には
h k ( x
)
e i k x ( k ∈ Z ) {\displaystyle h_{k}(x)=e^{ikx}\quad (k\in \mathbb {Z} )} がちょうど T の指標の全体の成す集合に一致する。この基底に属する各畳み込み作用素がコンパクト乗算作用素であることが、上で述べた循環畳み込みに対する畳み込み定理としてみることができる。
離散畳み込みの例は位数 n の有限巡回群をとる。この場合の畳み込み作用素は巡回行列によって表現され、離散フーリエ変換によって対角化することができる。
考える位相群が実数の加法群 (R, +) のとき、その上の確率測度 μ と ν をとれば、測度の畳み込み μ ∗ ν は、分布 μ および ν に従う独立確率変数 X および Y の和 X + Y の確率分布に対応する。
性質 積分演算に由来する性質として以下の性質がある。
交換律: f ∗
g
g ∗ f {\displaystyle fg=gf} 結合律: ( f ∗ g ) ∗
h
f ∗ ( g ∗ h ) {\displaystyle (fg)h=f(gh)} 分配律: f ∗ ( g + h
)
( f ∗ g ) + ( f ∗ h ) {\displaystyle f(g+h)=(fg)+(f*h)} スカラー倍: a ( f ∗ g
)
( a f ) ∗
g
f ∗ ( a g ) {\displaystyle a(fg)=(af)g=f*(ag)}, a は任意の複素数。 微分: D ( f ∗ g
)
D f ∗
g
f ∗ D g {\displaystyle {\rm {D}}(fg)={\rm {D}}fg=f*{\rm {D}}g}, D は微分演算子（離散系の場合は Df(n) = f(n + 1) − f(n)） 畳み込み定理（英語版）: F ( f ∗ g
)
F ( f ) ⋅ F ( g ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)={\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)}, F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} はフーリエ変換 畳み込み定理 畳み込み定理（英語版）は次の式で示される。
F ( f ∗ g
)
F ( f ) ⋅ F ( g ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)={\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)} ここで F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} はフーリエ変換である。この定理によりフーリエ変換を使って畳み込み演算を単純な掛け算に変換することが出来る。この定理はラプラス変換・Z変換やメリン変換といった変換に対しても適用できる。
応用 確率測度における畳み込み 集合関数の一種である確率測度の畳み込みは次のように表現される。確率測度 μ1, μ2 において任意のボレル集合 B に対し、
( μ 1 ∗ μ 2 ) ( B
)
∫ 1 B ( x + y )
μ 1 ( d x ) μ 2 ( d y ) {\displaystyle (\mu {1}*\mu {2})(B)=\int 1_{B}(x+y)\ \mu {1}(dx)\mu {2}(dy)} と表現される。ここで1BはBの定義関数である。これは μ1, μ2 を集合関数として捉えて、変数変換することで求まる。これにより、μ1, μ2 を分布に持つ確率変数 X, Y においてその和 X + Y の分布が畳み込みにあたることが分かる。
多項式の掛け算 多項式の掛け算の結果の係数列は、元の多項式の係数列の線形畳み込みになる。実際
( ∑
i
0 m a i x i ) ( ∑
j
0 l b j x j
)
∑
k
0 m + l ( ∑ i +
j
k a i b j ) x
k
∑
k
0 m + l ( ∑
i
0 k a i b k − i ) x k {\displaystyle \left(\sum {i=0}^{m}a{i}x^{i}\right)\left(\sum {j=0}^{l}b{j}x^{j}\right)=\sum {k=0}^{m+l}\left(\sum {i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^{k}=\sum {k=0}^{m+l}\left(\sum {i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)x^{k}} であり、掛け算の結果の係数が a*b となる。
X + Y {\displaystyle S=X+Y} の確率密度関数は畳み込みによって与えられる。X, Y の確率密度関数をそれぞれ f X , f Y {\displaystyle f_{X},f_{Y}} と表記すると、S の密度関数は以下の式で与えられる。
f S ( s
)
∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( s − x ) d x {\displaystyle f_{S}(s)=\int {-\infty }^{\infty }f{X}(x)f_{Y}(s-x)\,dx}
歴史 畳み込み積分が用いられた最初期の例の一つは d’Alembert (1754) Recherches sur différents points importants du système du monde におけるテイラーの定理の導出にある[11]。また
∫ f ( u ) ⋅ g ( x − u ) d u {\displaystyle \int f(u)\cdot g(x-u){\mathit {du}}} の形の式は Lacroix（英語版） Treatise on differences and series[注釈 1] の505頁で用いられ[12]、そのすぐ後にLaplace、Fourier、Poissonらの研究に畳み込み演算が現れている。名称自体が広く用いられるようになるには1950年代あるいは1960年代を待たなければならない。それに先立ってはドイツ語: faltung（「畳み込み」）、composition product（「合成積」）、 superposition integral（「重ね合わせ積分」）などとも呼ばれ、あるいはカールソンの積分 (Carson’s integral)[13] とも言った。現代的な定義がより古い用例に馴染むわけでもないが、それでも早くは1903年ごろには出現している[14][15]。
合成積の特別の場合としての演算
∫ 0 t φ ( s ) ψ ( t − s ) d s ( 0 ≤ t < ∞ ) {\displaystyle \int _{0}^{t}\varphi (s)\psi (t-s){\mathit {ds}}\quad (0\leq t<\infty )} は Volterra (1913) “Leçons sur les fonctions de lignes” にある[16]
脚注 [脚注の使い方] 注釈 ^ 百科辞典シリーズ Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, Chez Courcier, Paris, 1797-1800. の最後の三巻 出典 ^ Hörmander 1983, Chapter 1. ^ Stein & Weiss 1971, Theorem 1.3. ^ Beckner, William (1975), “Inequalities in Fourier analysis”, Ann. of Math. (2) 102: 159–182. Independently, Brascamp, Herm J. and Lieb, Elliott H. (1976), “Best constants in Young’s inequality, its converse, and its generalization to more than three functions”, Advances in Math. 20: 151–173. See Brascamp–Lieb inequality ^ Reed & Simon 1975, IX.4. ^ Stein & Weiss 1971, Theorem 3.3. ^ Hörmander 1983, §4.2. ^ Rudin 1962. ^ “mode : {‘full’, ‘valid’, ‘same’}” NumPy. numpy.convolve. NumPy v1.24 docs. 2023-03-23閲覧. ^ “mode : str {‘full’, ‘valid’, ‘same’}” SciPy. scipy.signal.convolve. NumPy v1.10.1 docs. 2023-03-23閲覧. ^ “mode (str, optional) – Must be one of (“full”, “valid”, “same”).” TorchAudio. TORCHAUDIO.FUNCTIONAL.CONVOLVE. TorchAudio 2.0.1 docs. 2023-03-23閲覧. ^ Dominguez-Torres 2010, p. 2. ^ Dominguez-Torres 2010, p. 4. ^ R. N. Bracewell (2005), “Early work on imaging theory in radio astronomy”, in W. T. Sullivan, The Early Years of Radio Astronomy: Reflections Fifty Years After Jansky’s Discovery, Cambridge University Press, p. 172, ISBN 978-0-521-61602-7 ^ John Hilton Grace and Alfred Young (1903), The algebra of invariants, Cambridge University Press, p. 40 ^ Leonard Eugene Dickson (1914), Algebraic invariants, J. Wiley, p. 85 ^ Lothar von Wolfersdorf (2000), “Einige Klassen quadratischer Integralgleichungen”, Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, volume 128, number 2, 6–7 参考文献 Dominguez-Torres, Alejandro (Nov 2, 2010). “Origin and history of convolution”. 41 pgs. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution. Cranfield, Bedford MK43 OAL, UK. Retrieved Mar 13, 2013. Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., 256, Springer, ISBN 3-540-12104-8, MR0717035 Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness, New York-London: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, pp. xv+361, ISBN 0-12-585002-6, MR0493420 Rudin, Walter (1962), Fourier analysis on groups, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 12, Interscience Publishers (a division of John Wiley and Sons), New York–London, ISBN 0-471-52364-X, MR0152834. 関連項目 逆畳み込み ブラインド・デコンボリューション インパルス応答 – 伝達関数 フーリエ変換 – ラプラス変換 軟化子 基本解 自己回帰移動平均モデル 巡回行列 アナログ信号処理 コーシー積 積和演算 外部リンク 『合成積（畳み込み）の意味と応用３つ』 – 高校数学の美しい物語 Weisstein, Eric W. “Convolution”. mathworld.wolfram.com (英語). convolution – PlanetMath.（英語） Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Convolution of functions”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Convolution transform”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 The Joy of Convolution Java Applet を使った視覚的な畳み込みの説明 Examples of sampled impulse responses to be used in convolution reverbs (Fokke Van Saane) Examples of impulse responses synthesized from oscillator spectra, to be used in convolution reverbs (Emmanuel Deruty) BruteFIR; A software for applying long FIR filters to multi-channel digital audio, either offline or in realtime. Freeverb3 Reverb Impulse Response Processor: DSP library with convolution engines. 表話編歴 データ圧縮方式 可逆 エントロピー符号 一進法算術Asymmetric numeral systems（英語版）ゴロムハフマン 適応型（英語版）正準（英語版）MHレンジシャノンシャノン・ファノシャノン・ファノ・イライアス（英語版）タンストール（英語版）ユニバーサル（英語版） 指数ゴロム（英語版）フィボナッチ（英語版）ガンマデルタレーベンシュタイン（英語版） 辞書式（英語版） BPEDeflateLempel-Ziv LZ77LZ78LZFSELZHLZJB（英語版）LZMALZOLZRW（英語版）LZS（英語版）LZSSLZWLZWL（英語版）LZXLZ4ROLZ（英語版）統計型（英語版）BrotliSnappyZstandard その他 BWTCTW（英語版）DeltaDMC（英語版）MTFPAQPPMRLE 音声 理論 ビットレート 平均(ABR)固定(CBR)可変(VBR)コンパンディング畳み込みダイナミックレンジレイテンシ（英語版）標本化定理標本化音質音声符号化サブバンド符号化変換符号化知覚符号化 コーデック A-lawμ-lawACELPADPCMCELPDPCMフーリエ変換LPC LARLSPMDCT音響心理学WLPC 画像 理論 クロマサブサンプリング符号化ツリーユニット（英語版）色空間圧縮アーティファクト解像度マクロブロックピクセルPSNR量子化（英語版）標準テストイメージ（英語版） 手法 チェインコード（英語版）DCTEZW（英語版）フラクタルKLT（英語版）ピラミッド（英語版）RLESPIHT（英語版）ウェーブレット 映像 理論 ビットレート 平均(ABR)固定(CBR)可変(VBR)画面解像度フレームフレームレートインターレース映像品質（英語版） コーデック（英語版） 重複変換（英語版）DCTデブロッキングフィルタ（英語版）フレーム間予測 理論 情報量複雑性非可逆量子化レート歪み（英語版）冗長性情報理論の年表（英語版） カテゴリ: 関数解析学制御工学信号処理フーリエ解析双線型演算数学に関する記事 最終更新 2024年2月8日 (木) 09:52 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。 テキストはクリエイティブ・コモンズ 表示-継承ライセンスのもとで利用できます。追加の条件が適用される場合があります。詳細については利用規約を参照してください。』
ジジイがあれこれ考えた 