カテゴリー: 精神活動
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ベクトルとは？誰でも理解できるように簡単に解説
https://www.headboost.jp/what-is-vector/https://www.headboost.jp/wp-content/uploads/2020/12/what_is_vector.mov
『線形代数
2020年12月19日
2021年11月11日ベクトルとは、一般的には「大きさと向きをもつ量」であり「矢印で表すことのできる量」と説明されます。
ただし、この説明は物理学的な視点に立ったときの解釈です。実際は、ベクトルはさまざまな分野で異なった使い方をされている概念であるため、その定義を一言で表すことはできません。
たとえば物理学においては世の中のありとあらゆる物体運動を理解するための矢印ですが、コンピューター・サイエンスにおいては機械学習やCG（コンピューター・グラフィックス）で重要な役割を果たす特別なデータです。そして数学においては線形代数の中心的な概念の一つです。
このようにベクトルは分野によって使われ方が異なります。そのため、すべての分野で通用する定義をしようとすると、どうしても無理が出てきてしまうのです。
ただし異なる点があれば、すべての分野に共通する性質もベクトルにはあります。そして最終的には、分野ごとに異なる抽象的な定義にこだわるよりも、すべての分野に共通の性質に注目することが、「ベクトルとは何か」ということを理解するためのカギとなります。
つまり、ベクトルの本質は、その定義よりも性質にあるのです。
最初から難しそうな話になってしまいましたが、当ページでは「ベクトルとは何か」ということについて、これらすべての学問分野で通用するような理解を得られるように解説していきます。さらに理解を深めるために、アニメーションを活用しながら視覚的にも解説していきます。
ぜひ、じっくりとご覧になってみてください。必ずや・・・、ベクトルとは何かということを深く理解するための大きな助けとなることでしょう。
目次
- ベクトルの意味
- ベクトルの定義
2.1. 学問分野ごとの定義
2.2. 線形代数における定義 - 全ての分野に共通のベクトルの性質
- まとめ
- ベクトルの意味
冒頭でも述べた通り、ベクトルの意味は学校では「大きさと向きをもつ量」であり「矢印で表すことができる量」であると説明されます。まずは、この一般的な解釈についておさらいしておきましょう。
たとえば、私たちが普段の生活の中で使う「温度」や「重さ」といった量は、大きさがあるだけで向きはありません。一方で「速度」や「力」といった量は、大きさだけではなく向きも含んでいます。
このことから、「温度」や「重さ」は、「速度」や「力」と比べると、性質が根本的に異なるものであると言えます。そのため、学問の世界では、大きさだけをもつ量のことを「スカラー」、大きさと向きの二つをもつ量のことを「ベクトル」というように呼び分けることになっています。
スカラーとベクトルの違いを表している画像です。スカラーとは温度や重さといった単一の値で示せる量のことです。ベクトルとは、速度や力のように大きさと向きを持つ矢印で表す量のことです。
また上の画像から確認できる通り、ベクトルは、何らかの量の大きさ・向きを矢印の長さ・方向で表します。この矢印は、イメージとしては、以下のアニメーションのように、「方向性をもった流れを表すもの」というように考えると良いでしょう。このようにベクトルは大きさ・向きの二つの属性をもっており、現実世界の様々な物体運動の分析のために欠かせない概念となっています。
以上が義務教育で習う一般的なベクトルの意味です。
もちろん一般教養としては、ここまで説明した理解で十分です。しかし、ベクトルというものを本質的に理解しようとする場合は、この説明では問題があります。なぜなら、義務教育ではコンピューター・サイエンス（機械学習やCGなど）や、線形代数を習わないため、この一般的なベクトルの説明には、それらの視点が含まれていないからです。
それでは、それぞれの学問分野ではベクトルはどのように定義されているのでしょうか。次からこの点について見ていきましょう。
以下のコラムでは日常でよく目にするベクトルとスカラーについてお話ししています。補足として楽しんで頂ければと思います。
【コラム】ベクトル場とスカラー場
- ベクトルの定義
繰り返しになりますが、上で説明した一般的なベクトルの解釈は、物理学的な視点に立った場合のものです。それでは異なる学問分野では、ベクトルは一体どのように定義されているのでしょうか。
2.1. 学問分野ごとの定義
ベクトルの定義は、物理学・コンピューターサイエンス・数学ごとに、それぞれ次のように解釈されています。
学問分野ごとのベクトルの定義
物理学：長さと向きをもつ矢印
コンピュータサイエンス：数字のリスト
数学：上の二つの定義を一般化したもの
それぞれの定義の違いと詳細は、文字だけで理解しようとするよりも、以下のアニメーションで視覚的な助けも借りる方が断然理解しやすいので、ぜひご覧ください。
このように物理学では、ベクトルは長さと向きの二つの属性をもち、空間内のあらゆるところに存在できる矢印であると考えます。そしてコンピューターサイエンスでは、ベクトルは単なる数値のリストであると考えます。最後に数学では、物理の視点とコンピューターサイエンスの視点の双方を一般化して、ベクトルの足し算や掛け算などの概念を導き出し、計算可能なものにしようとします。
2.2. 線形代数における定義
それでは、当サイトのメインテーマの一つである線形代数においては、ベクトルはどのように解釈すれば良いでしょうか。
線形代数では、基本的に物理学のように「ベクトルは長さと向きをもつ矢印である」と考えると良いです。ただし物理学では、この矢印は空間のあらゆるところに自由に存在することができますが、線形代数では x
座標、y
座標などで示す「座標系」の中に存在するものであり、ベクトルの始点は常に原点 (0,0)
にあります。これも以下のアニメーションを見ていただくことで、はっきりとイメージできるようになります。
このように理解することで、ベクトルを、コンピュータサイエンスのように数値のリスト(座標)で統一して表すことができ、さまざまな重要な計算がやりやすくなります。
- 全ての分野に共通のベクトルの性質
さて、ここまで見てきたように、ベクトルの定義は学問分野によって異なります。しかし、そのままでは問題があります。なぜなら、このように定義が異なっていると、たとえば物理学者、コンピューター・サイエンス学者、数学者の間で学問分野を飛び越えて議論しようとしたときに、お互いに混乱することになってしまうからです。
そこで、そのようなときは、それぞれの分野ごとに共通する性質を見出して、その性質を何があっても揺るがない根本的なルール（＝公理）とし、この公理を大前提として話し合うことで混乱を防ぐことができます。
それでは全ての学問分野に共通するベクトルの性質とは何でしょうか。
それは以下の８つです。
ベクトルの性質
(s1s2)v⃗ =s1(s2v⃗ )
※s
は数値
1v⃗ =v⃗
v⃗ +w⃗ =w⃗ +v⃗
(u⃗ +v⃗ )+w⃗ =u⃗ +(v⃗ +w⃗ )
v⃗ +0⃗ =v⃗
v⃗ +(−v⃗ )=0⃗
s(v⃗ +w⃗ )=sv⃗ +sw⃗
(s1+s2)v⃗ =s1v⃗ +s2v⃗
※s
は数値
これらの性質についての具体的な説明は、以下の２つのページで行っています。『ベクトルの和とは何か？誰でもわかる幾何学的な意味と計算方法の解説』
『ベクトルの掛け算とは何か？幾何学的な意味と計算方法の解説』
そのためこれらの性質を当ページで覚えようとする必要はありませんし、理解できなかったとしても全く問題ありません。当サイトの線形代数のページを読み進めていくうちに自然と身につきます。ここでは、「ベクトルとはこれらの８つの性質をもつ概念である」とすることで、「ベクトルとは何か」という学問分野ごとに解釈が異なる論争に悩まされることなく、誰でもベクトルについて話すことができるようになる、ということを理解するようにしましょう。
この公理を前提とすれば、それこそ、物理学者とコンピュータサイエンス学者の間でも、数学者と物理学者の間でも、何の問題もなくベクトルについて議論することができます。
ということはベクトルとは、文字で厳密に定義できるようものではなくて、本質的にはこの８つの性質をもつ概念であると言えます。繰り返しになりますが、この点について最初からハッキリと理解しようとする必要は全くありません。まずは当サイトの線形代数の解説ページを、どうぞ読み進めていってみてください。そしてすべて読み終わった後に、あらためて、この公理に立ち戻ってみてください。
そうすると、なぜ、ベクトルを文字で定義しようとすると抽象的になってしまうのかが理解できるようになっていることでしょう（実際はベクトルだけでなく、数学的概念のほとんどが文字で表すと抽象的になってしまうのですが、その理由も同じように理解することのなります）。そして、ベクトルとは、この8つの性質を持つ概念であるということが理解できるようになっていることでしょう。
それが分かれば科学的思考とはどういうものなのかを体得することができます。そして、それは人生のあらゆる面において、とてつもなく大きな価値をもたらしてくれます。
- まとめ
以上が「ベクトル」です。
ぜひ、学習が進んだ後にもまた読み返してみてください。学習が進むたびに、より具体的に理解できるようになっていきます。
次に読みたいページ
線形代数では、ベクトルは座標系に存在します。これによって、長さと向きを持つものである矢印を「座標」という数値で表すことが可能になり、ベクトルの和や積といった重要な計算ができるようになります。それでは「座標」とは何でしょうか。それについての理解を深めるために、次は『ベクトルの座標とは？アニメーションでわかりやすく解説』をお読みください。』 -
1. ベクトルの起源
https://nicht1948.itigo.jp/danpen/danpen.html数ベクトルも矢線ベクトルもハミルトンによって、１９世紀に作られたものである。
よく「ベクトルの概念は古くからあり」などとしている本が見受けられるが、矢印が矢のイメージから、また大きさと方向を持つ量としての力や、力の分解なども現在は矢印で表現しているので当然古くからあるように感じるからであろうと思われる。
しかし力の分解を矢印で表したのは、ベクトルが誕生してからであり、それまでは単に線分で表現していたのである。
力学で使われていた考えは矢線ベクトルのようではあるが、数ベクトルの裏付けの無いものであった。
ベクトルの概念は、デカルトによって幾何学が代数と結びつけられたように、ハミルトンによって力学が複素数と結びつけられる過程の中で新しい量として作られたと考えたほうが良いであろう。
そこでベクトル誕生前夜までをたどってみると。
複素数の流れ 力学の流れ
アリストテレス派 平行四辺形の方法により運動を考える。
ヨルダヌス 運動を互いに垂直な方向に分解する。
カルダノ 3次方程式の解法途中で
√
−
1
を使用ボンベリ
√
−
1
×
√
−1
−
1
を認める。ステヴィン 1586年の「静力学と流体静力学」によって、力の平行四辺形の法則を力の三角形の原理から示した。この本以降、力を線分で表す方法が広く使用されるようになった。
ジラール 虚根を認める。
ウォリス 1693年「虚数は正数と負数の比例中項」として考えるべきであり、したがって実数を表す直線と、虚数を表す直線とは直交しなければならないと考えた。
オイラー√
−
1
を
i
で表す。ウェッセル 1797年複素平面を初めて表し、方向を持つ線分（矢印）によってすべての複素数を表し、演算も今日でいうベクトルと同じであった。
アルガン 1806年複素数の幾何学的表示を初めて示す。
ガウス
a
+
b
i
を複素数と名付け表示、演算等の理論を完成させた。ハミルトン 1835年複素数を順序対とみなす。
a
+
bi
(
a
,
b
)
そしてこれらの
対にたいして和と積を定義した。さらに実数の対を2次元空間
の回転に対して行ったことを、3次元空間の回転に対しても行
う数の組を考え、回転を行うために必要な複素数の幾何学的
表示を考える中で、ベクトルを作ったのである。（1846年の論文) -
『AI による概要
ベクトルは、物理学や数学における「向き」と「大きさ」を同時に持つ量を表す概念として生まれました。
特に、19世紀にハミルトンが四元数の一部をベクトルと名付けたことが、ベクトルの用語の起源とされています。その後、ギブスがベクトルの記法を初めて用いたとされています。
より詳しく説明すると、ベクトルは以下のような経緯で生まれました。- 物理学における必要性:
18世紀から19世紀にかけて、物理学の分野で、力、速度、加速度など、向きと大きさを同時に持つ量が重要になってきました。
これらの量を扱うために、ベクトルという概念が必要とされたのです。
- ハミルトンの四元数:
1847年、ハミルトンは四元数という数を発見し、その中で、実数部分をスカラー、虚数部分をベクトルと名付けました。これがベクトルの用語の起源とされています。
- ギブスの記法:
19世紀のアメリカの物理学者ギブスが、ベクトルの記法を初めて用いたとされています。
これにより、ベクトルはより広く使われるようになりました。- 内積と外積の発展:
ベクトル同士の演算である内積や外積も、物理学における様々な問題（例えば、仕事の計算や、電磁気学における力の計算）を解くために発展しました。
このように、ベクトルは、物理学や数学における必要性から生まれ、その概念と記法が発展してきたのです。
２．ベクトル小史
ベクトルの記法を最初に用いたのは19世紀のアメリカの物理学者ギプス(1839-1903)と言われている．
数学のいずみ
外積について – 電磁気学 – EMANの物理学
2006/11/13 — 外積を導入するに至った理由 内積が「同じ方向の成分」をかけ合わせたいとの要求によって作られたのに対し…EMANの物理学
ベクトルとは？シーン別での意味合いや例文をご紹介します！ – kyozon
ベクトルの由来・語源 数学の「ベクトル」と「方向」という2つの意味を持っています。 さらに、その由来は18世紀の天文学者…kyozon
すべて表示
AI の回答には間違いが含まれている場合があります。 詳細』 -
『AI による概要
ベクトルの歴史は、数学と物理学の両分野にまたがり、19世紀にハミルトンが四元数の一部として「ベクトル」という用語を導入したことから始まります。その後、グラスマンやギブスらによって、今日のベクトル解析の基礎が築かれました。
ベクトルの歴史の主要なポイント:
19世紀:
ハミルトン:四元数の研究から「ベクトル」という用語を導入。虚数部分をベクトルと名付けた。
グラスマン:外積などの概念を導入し、ベクトル解析の基礎を築いた。
ギブス:ベクトル解析を体系化し、内積・外積などの記号を確立。
20世紀以降:
ベクトル解析は物理学で広く使われるようになり、量子力学などの分野で重要な役割を果たす。
ベクトル空間の概念は、線形代数学の中心的な概念として発展。
ベクトルの概念の発展:
初期:
力学における力の分解など、ベクトル的な考え方は古くからあった。
しかし、ベクトルを数学的に厳密に定義したのは19世紀である。
19世紀:
ハミルトンの四元数から、ベクトルが幾何学的な対象として認識されるようになった。
グラスマンは、外積や多重ベクトルなど、より一般化されたベクトル空間の概念を導入。
ギブスは、ベクトル解析を体系化し、物理学におけるベクトルの利用を広めた。20世紀以降:
ベクトル空間の公理的な定義が確立され、抽象的な数学の概念として発展。
ベクトル解析は、物理学、工学、情報科学など、様々な分野で応用されている。
まとめ:
ベクトルは、19世紀に数学と物理学の発展の中で生まれ、その後、様々な分野で重要な役割を果たす概念として発展してきた。
空間ベクトル – Wikipedia
そこでは何十人もの人々が重要な役割を果たしてきた。 ベクトルの先祖は四元数であり、ハミルトンが1843年に複素数の一般化…Wikipedia
幾何学教育の視点から見たベクトルの歴史の一断面*
ハミルトンが，1847 年発行の論文の中で，四元数q の 実部w を scalar，残りの部分 α = x i+ y j…
南山大学機関リポジトリベクトル空間 – Wikipedia
歴史 ベクトル空間は、平面や空間に座標系を導入することを通じて、アフィン空間から生じる。 1636年ごろ、ルネ・デカルト…Wikipedia
すべて表示
AI の回答には間違いが含まれている場合があります。 詳細』 -
物理学の要用
https://www.aozora.gr.jp/cards/000296/files/46686_25533.html『物理学の要用 福沢諭吉
物理学とは、天然の原則にもとづき、物の性質を明らかにし、その働を察し、これを採ってもって人事の用に供するの学にして、おのずから他の学問に異なるところのものあり。
たとえば今、経済学といい、商売学といい、等しく学の名あれども、今日の有様にては、経済商売の如き、未だまったく天然の原則によるものに非ず。
いかんとなれば、経済商売に、自由の主義あり、保護の主義あり。そのもとづくところ、同じからずして、英国の学者が自由をもって理なりといえば、亜国の人は保護をもって道みちなりといい、これを聞けば双方ともに道理あるが如し。
されば、経済商売の道理は、英亜両国においてその趣おもむきを異にするものといわざるをえず。
物理はすなわち然らず。
開闢かいびゃくの初より今日にいたるまで、世界古今、正まさしく同一様にして変違あることなし。
神代の水も華氏の寒暖計二百十二度の熱に逢うて沸騰し、明治年間の水もまた、これに同じ。
西洋の蒸気も東洋の蒸気も、その膨脹の力は異ならず。
亜米利加の人がモルヒネを多量に服して死すれば、日本人もまた、これを服して死すべし。
これを物理の原則といい、この原則を究めて利用する、これを物理学という。
人間万事この理に洩もるるものあるべからず。
もしあるいは然しからざるに似たる者は、未いまだ究理の不行届ふゆきとどきなるものと知るべし。
そもそもこの物理学の敵にして、その発達を妨ぐるものは、人民の惑溺わくできにして、たとえば陰陽五行論いんようごぎょうろんの如き、これなれども、幸にして我が国の上等社会には、その惑溺はなはだ少なし。
拙著『時事小言』の第四編にいわく、
「（前略）ひっきょう、支那人がその国の広大なるを自負して他を蔑視べっしし、かつ数千年来、陰陽五行の妄説に惑溺して、事物の真理原則を求むるの鍵を放擲したるの罪なり。
天文をうかがって吉兆を卜ぼくし、星宿の変をみて禍福を憂喜し、竜といい、麒麟きりんといい、鳳鳥ほうちょう、河図かと、幽鬼、神霊の説は、現に今日も、かの上等社会中に行われて、これを疑う者、はなはだ稀まれなるが如し。
いずれも皆、真理原則の敵にして、この勁敵けいてきのあらん限りは、改進文明の元素は、この国に入るべからざるなり。
我が日本にもこの敵なきに非ざりしかども、偶然の事情によりて大いに趣おもむきを異にするところあり。
我が国において、鬼神幽冥の妄説は、多くは仏者の預るところとなりて、もっぱら社会に流行したることなれども、三百年来、儒者の道、ようやく盛にして、仏者に抗し、これに抗するの余りに、しきりに幽冥の説を駁ばくして、ついには自家固有の陰陽五行論をも喋々ちょうちょうするを忌いむにいたれり。
たとえば、儒者が易経えききょうを講ずれども、ただその論理を講ずるのみにして、卜筮ぼくぜいを弄もてあそぶを恥ずるが如し。
その仏を駁撃するはあたかも儒者流の私わたくしなれども、この私論しろんの結果をもって惑溺を脱したるは、偶然の幸というべし。
支那の儒者も孔孟の道を尊び、日本の儒者も孔孟の書を読み、双方ともにその教の源みなもとを同じゅうして、その社会に分布したる結果において、まったく相反するは、偶然に非ずして何ぞや。
けだし、支那の儒教は敵なきがゆえに、その惑溺をたくましゅうし、日本の儒教は勁敵に敵して自から警いましめたるものなり。
かつ我が儒者はたいがい皆、武人の家に生れたる者にして、文采風流の中におのずから快活の精神を存し、よく子弟を教育してその気風を養い、全国士族以上の者は皆これに靡なびかざるはなし。
改進の用意十分に熟したるものというべし。」云々。
右の如く、我が国上等社会の人は、無稽の幽冥説ゆうめいせつに惑溺すること、はなはだ少なしといえども、その、これに惑溺せざるは、ただ一時仏者に敵するの熱心に乗じたるものにして、天然の真理原則を推究したる知識の働はたらきに非ざるがゆえに、幽冥説に向って淡白なるほどに、物理においてもまた自から漠然たるの情あるが如し。
儒者が地獄極楽の仏説を証拠なきものなりとて排撃しながら、自家においては、数百年のその間、降雨の一理をだに推究したる者なし。
雨は天より降るといい、あるいは雲凝こりて雨となるというのみにして、蒸発の理と数とにいたりては、かつてその証拠を求むるを知らざりしなり。
朝夕ちょうせき水を用いてその剛軟を論じながら、その水は何物の集まりて形をなしたるものか、その水中に何物を混じ何物を除けば剛水ごうすいとなり、また軟水なんすいとなるかの証拠を求めず、重炭酸加爾幾カルキは水に混合してその性を剛ならしめ、鉄瓶等の裏面に附着する水垢みずあかと称するものは、たいてい皆この加爾幾なりとの理は、これを度外におきて推究したる者あるを聞かず。
今日にありても儒者の教に養育しられたる者は、これらの談を聴きて瑣末さまつの事なりと思うべけれども、決して然らず。
欧州近時の文明は皆、この物理学より出でざるはなし。
彼の発明の蒸汽船車なり、鉄砲軍器なり、また電信瓦斯ガスなり、働の成跡は大なりといえども、そのはじめは錙朱ししゅの理を推究分離して、ついにもって人事に施したる者のみ。
その大を見て驚くなかれ、その小を見て等閑とうかんに附するなかれ。大小の物、皆みな偶然に非ざるなり。
人にして物理に暗く、ただ文明の物を用いてその物の性質を知らざるは、かの馬が飼料を喰くろうて、その品の性質を知らず、ただその口に旨きものはこれを取りて、然らざるものはこれを捨つるに異ならず。
然りといえども、馬はなお、その物の毒性なるか良性なるかを弁ずるの能力を有す。
然るに今の世の不学の徒は、汽車に乗りて汽の理をしらず、電信を用いて電気の性質を知らず、はなはだしきは自身の何物たるを知らずして、摂生の法を誤る者あり。
なおはなはだしきは、医は意なりと公言して、医術は憶測に出ずるものかと誤まり認したため、無稽むけいの漢薬を服して自得する者あり。
その愚の極度にいたりては、売薬をなめて万病を医せんと欲する者あり。
上等社会にしてその知識の卑しきこと、実に驚くに堪えたり。
ひっきょう物理を度外視するの罪にして、あるいは人にして馬に若しかずと評せらるるも、これに答うるの辞なかるべし。
我が慶応義塾において初学を導くにもっぱら物理学をもってして、あたかも諸課の予備となすも、けだしこれがためなり。
なお、その教則の事については他日陳述するところのものあるべし。
底本：「福沢諭吉教育論集」岩波文庫、岩波書店
1991（平成3）年3月18日第1刷発行底本の親本：「福沢諭吉選集 第3巻」岩波書店
1980（昭和55）年12月18日第1刷発行初出：「時事新報」時事新報社
1882（明治15）年3月22日発行入力：田中哲郎
校正：noriko saito
2006年12月30日作成青空文庫作成ファイル：
このファイルは、インターネットの図書館、青空文庫（http://www.aozora.gr.jp/）で作られました。入力、校正、制作にあたったのは、ボランティアの皆さんです。
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福沢諭吉と物理学
https://webmagazine.ouj.ac.jp/matsui-tetsuo202404/『【教員コラム】福沢諭吉と物理学
松井 哲男
特任教授（自然と環境コース）皆さんは福沢諭吉と聞くと何を思い浮かべますか？明治日本の有名な教養人、『学問のすすめ』の著者、慶應義塾大学の創設者、（旧）1万円札の肖像、等々。およそこの表題にある物理とは全く縁のない人、と思っていませんか？
実は、彼が若い時に一番やりたかったのは物理学の研究だったのです。このことはあまり知られていないのですが、ここでそれを紹介したいと思います。
彼の口述筆記による『福翁自伝』によると、幕末の二十歳になったばかりの頃、大坂の緒方洪庵の「適塾」で学んでいたときに、蘭語で書かれた物理学書を手に入れてファラデーの電気説のこと等を知り、物理に非常に興味を持ったと書かれています。
彼は中津藩（大分県中津市）の下級藩士の出で、若い頃は儒学を学びましたが、だんだんそれに興味を失い西洋文明に傾倒していきます。
その橋渡しをしたのが物理学だったようです。
当時の日本は、「黒船ショック」で開国か攘夷かで騒然としていましたが、福沢は藩命で蘭学塾の講師として江戸に向かいます。福沢にとって物理学は、西洋医学と同様、西洋文明の優位性の背後にある「実学」だったようです。
蘭語を学んだのちも、独学で英語を学び、幕府がオランダから買い入れた咸臨丸に船長の木村摂津守の従者として乗り込んで、訪米しました。1860年のことです。
その後、幕臣の通訳として欧州諸国を1年程周り、またもう一度訪米して、海外で見聞したことを『西洋事情』などで紹介して、日本の西洋化の寵児となりました。
彼を明治新政府の役人として迎えたいという誘いもあったようですが、それはきっぱりと断り、彼は在野で日本の近代化に尽くしました。
彼は学問奨励の道を登りつめ、今日の日本学士院の前身である東京学士会院の初代会長を半年間務めています。
福沢が還暦を前にした1893年に三田の慶應義塾で行なった講演の速記録が残っています。
その題目は『人生の楽事』となっています。ここで「楽事」というのは、誰もが持つ趣味や志（こころざし）のようなもので、旅行好きな人、逆に家に一人籠っていたい人、絵画や骨董品を蒐集したい人、お金集めが好きな人、立身出世したい人など、千差万別あります。
福沢にとっての「楽事」とは物理学を学ぶことであり、本当は若い時から物理の研究をしたかったのだけれど、時代がそうさせてくれなかった、と告白しています。
そして、日本に物理学の小さい研究所を作りたかったとも言っており、具体的にどのくらいの費用が必要か現実的な試算もしています。
結局それもかないませんでしたが、ここで彼がこういう話をしたことを誰かが覚えていて、彼の死後にそれが実現されれば、草葉の影で感涙しているだろう、と話を締めくくっています。
福沢はこの講演の前年には北里柴三郎の伝染病研究所の設立に尽力したと伝えられていますが、彼が本当にやりたかったのは、自分が好きだった物理学の研究所を作ることだったようです。
（この記事は、2023年に執筆されました。）
松井 哲男 特任教授のプロフィールはこちら
公開日 2024-04-30 最終更新日 2024-07-03 』
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相談相手は「AIコンパニオン」、アプリに若者課金 依存リスクも
https://www.nikkei.com/article/DGXZQOUC165D40W5A710C2000000/
『2025年7月18日 5:00 [会員限定記事]
人工知能（AI）が人間の相談や悩みに答える「AIコンパニオン」の利用が世界の若者の間で広がっている。米起業家イーロン・マスク氏が率いるxAI（エックスエーアイ）の対話型AIアプリ「Grok（グロック）」もこのほど同機能を実装した。友人のような存在として注目される一方、過度な依存を懸念する声も上がっている。
「あら、初めましてかしら。こんにちは。なんか、こうやって話すのどきどきするね」
xAIは1…
この記事は会員限定です。登録すると続きをお読みいただけます。』
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フランシスコ法王の後継者は誰か？可能性のある9人の候補者
https://www.arabnews.jp/article/features/article_146737/『22 Apr 2025 12:04:10 GMT9
フランシスコはバチカン内の改革に着手し、透明性、説明責任、財政改革を強調し、より多くの女性を上級職に任命した。
フランシスコは次期法王を選ぶ枢機卿選挙人の80％近くを任命し、後継者が彼の進歩的な政策を継続する可能性を高めた。
バチカン市国：次の法王が誰になるかを予想するのは危険だ。
イタリアの古いことわざは、法王を選ぶ非公開の枢機卿会議であるコンクラーベを前に、有力候補と目される人物に信頼や金銭をつぎ込まないよう警告している。「法王としてコンクラーベに参加する者は、枢機卿として退場する」
しかし、月曜日にバチカンから88歳での死去が発表されたフランシスコ法王の後を継ぐ 「パパビリ 」として話題になっている枢機卿たちを紹介しよう。アルファベット順である。
ジャン＝マルク・アヴェリーヌ（フランス、マルセイユ大司教、66歳）。
フランスのマスコミによると、彼は1960年代前半の丸顔の改革派教皇ヨハネ23世に似ていることから、国内の一部のカトリック界ではヨハネ24世として知られている。
フランシスコ法王はかつて、自分の後継者はヨハネ24世を名乗るかもしれないと口にしたことがある。
アヴェリーヌは、庶民的な性格、ジョークを飛ばす気さくさ、そしてフランシスコとイデオロギー的に近いこと、特に移民問題やイスラム世界との関係で知られている。また、神学の博士号と哲学の学位を持つ真面目なインテリでもある。
アルジェリア独立後にフランスに移り住んだスペイン系移民の家庭にアルジェリアで生まれ、何世紀にもわたって文化と宗教の交差点であったマルセイユで人生の大半を過ごしてきた。
フランシスコの下、アヴェリーヌは2013年に司教、2019年に大司教、その3年後には枢機卿となり、キャリアを大きく前進させてきた。彼の地位は2023年9月、法王フランシスコが主賓として出席した地中海問題に関する教会の国際会議を主催したことで高まった。
もしアヴェリーヌが法王の座に就けば、14世紀以来初めてのフランス人教皇となる。
また、ヨハネ・パウロ2世以来の最年少法王となる。ローマ司教という肩書きを持ち、ローマの権力闘争や陰謀に精通する必要があるローマ法王の仕事にとって、イタリア語は理解できるが話せないというのは大きな欠点となる可能性がある。
ピーター・エルド枢機卿（ハンガリー、72歳）
もしエルドが選出されれば、彼は必然的に妥協の候補者、つまりフランシスコの進歩的な世界と橋渡しをしてきた保守派の人物とみなされるだろう。
エルドは、ヨーロッパとアフリカにおける教会の幅広い人脈と、多くの枢機卿にとって最優先事項である世俗化した先進国でカトリックの信仰を再興する「新福音化」のパイオニアとみなされていた事実のおかげで、2013年の前回のコンクラーベではすでに法王候補とみなされていた。
神学的には保守派に位置づけられ、ヨーロッパ各地での演説では、ヨーロッパ大陸のキリスト教的ルーツを強調している。しかし、彼は現実主義者でもあり、フランシスコとは異なり、他の伝統を重んじる聖職者たちと公然と衝突することはないと見られている。
とはいえ、2015年の移民危機の際には、教会に難民を受け入れるよう呼びかけるフランシスコ法王の呼びかけに反対し、これは人身売買に等しいと発言してバチカン内で眉をひそめた。
教会法の専門家であるエルドは、40代で司教となり、2003年に51歳で枢機卿となった。
イタリア語に堪能で、ドイツ語、フランス語、スペイン語、ロシア語も話せる。ウクライナ戦争で冷え込んだカトリック教会とロシア正教会の関係を和らげるのに役立つだろう。
エルドはカリスマ的な演説家ではないが、かつてはこれが重大な欠点とみなされていたことは間違いない。しかし、フランシスコの支配の花火の後、枢機卿たちが穏やかな教皇職を望むのであれば、今回は長所とみなされる可能性がある。
マリオ・グレチ枢機卿（シノドス司教会議事務総長、マルタ人、68歳）。
グレチ枢機卿は、EUで最も小さな国マルタの一部であるゴゾ島の出身だ。フランシスコ法王によってバチカンの重職である司教協議会事務総長に任命された。
当初は保守派と見られていたグレチだが、時代とともに鋭く動くフランシスコの教会内改革の聖火ランナーとなった。
2008年、何人かのゲイのマルタ市民が、当時の法王ベネディクトの反LGBTの姿勢に抗議して教会を去ると宣言した。
グレチは当時、彼らにほとんど同情を示さなかったが、2014年にバチカンで演説し、教会がLGBTのメンバーをもっと受け入れ、現代の家族の状況に対処する新しい方法を見つけるために創造的になるよう呼びかけた。
その翌日、法王フランシスコは朝食の席で彼の肩を叩き、そのスピーチを褒め、今後の昇進の目印とした。
2018年、グレチは教会が直面する課題をいかに喜ぶかについて語った。「私たちは変化の時期を迎えている。私にとって、これは非常にポジティブなことです」とマルタ・トゥデイ紙に語った。過去へのノスタルジアを超えなければ、現代社会との関連性は保てないと警告した。
保守派のゲルハルト・ミュラー枢機卿は2022年、彼の学問的プロフィールをけなし、カトリックの教義に反すると非難した。
グレチの味方は、彼には保守派と穏健派の両方に友人がおり、知名度が高いため多くの枢機卿に知られていると主張する。
小さな国の出身である彼が法王に選出されても、外交的・地政学的な頭痛の種にはならないだろう。
彼は常に対立よりもコンセンサスを求めると強調してきた。しかし、時には論争を呼ぶこともある。2016年には、干ばつを心配する農民たちに会った後、雨乞いの巡礼を行った。地元の新聞は、「雨を降らせようとする前時代的な試みに逆戻りした」と報じたが、この行事の数日後、実際に雨が降り始めた。
スペインのバルセロナ大司教、フアン・ホセ・オメラ枢機卿、79歳。
オメラ枢機卿はフランシスコ法王の意に適う人物だ。高貴な肩書きとは裏腹に控えめで気さくな彼は、教会でのキャリアを司牧に捧げ、社会正義を推進し、カトリックの慈愛に満ちた包括的なビジョンを体現している。
2022年4月、彼はニュースサイト『Crux』に対し、フランシスコの世界観を反映する言葉として、「私たちは、最も多くのものを持つ人々の目を通してのみ現実を見てはならない」
彼は1946年にスペイン北東部のクレタス村で生まれた。1970年に司祭に叙階された後、スペインの多くの小教区で司祭として奉仕し、またザイール（現在のコンゴ民主共和国）で宣教師として1年間を過ごした。
1999年から2015年まで、発展途上国の飢餓、病気、貧困に取り組むスペインの慈善団体「マノス・ウニダス」と緊密に協力した。
1996年に司教となり、2015年にバルセロナ大司教に昇格した。ちょうど1年後、フランシスコは彼に赤い枢機卿の帽子を与えた。これは、かつてスペイン教会を支配していた保守的な要素とは対照的な、オメラの進歩的な傾向を明確に支持した動きと見られている。
オメラはスペインの司教協議会の前会長である。彼は、2023年に20万人以上の未成年者が数十年にわたってスペインの聖職者から性的虐待を受けた可能性があると推定した独立委員会からの影響に対処しなければならなかった。
オメラは性的虐待の不始末について繰り返し許しを求めてきたが、教会内部の調査では1940年代以降の被害者はわずか927人とされており、それほど多くの子どもたちが虐待されていたことは否定してきた。
「結局のところ、数字では何もわからない。重要なのは人々であり、可能な限りの償いをすることだ。非難することは道ではない。問題は教会にあるのではなく、社会全体にあるのです」
2023年、フランシスコはオメラを9人の枢機卿からなる台所内閣に招き、統治に関する問題について顧問させることにした。
もし、コンクラーベが教会に新しいアプローチが必要だと判断すれば、この接近はオメラにとって不利になるだろう。
ピエトロ・パロリン枢機卿（イタリア、バチカン外交官、70歳）。
パロリン枢機卿は、進歩派と保守派の間の妥協候補と見られている。彼は人生の大半を教会の外交官として過ごし、フランシスコが選出された2013年以来、フランシスコ法王の国務長官を務めている。
この役職は首相に似ており、国務長官はバチカンのヒエラルキーの中で教皇に次ぐ地位にあるため、しばしば「副教皇」と呼ばれる。
パロリンは以前、ローマ教皇ベネディクトの下で外務副大臣を務めていたが、2009年にベネズエラのバチカン大使に任命され、当時のウゴ・チャベス大統領による教会弱体化の動きから教会を擁護した。
彼はまた、バチカンと中国およびベトナムとの和解の立役者でもある。保守派は、共産主義中国の司教任命に関する合意について彼を攻撃した。彼は、この合意は完璧ではなかったが、分裂を回避し、北京政府と何らかの形で意思疎通を図ることができたと擁護している。
パロリンは、中絶や同性愛者の権利といった問題を中心とする教会のいわゆるカルチャー・ウォーズにおいて、最前線に立つことも、騒々しい活動家であることもなかったが、多くの国で同性婚が合法化されたことを 「人類の敗北 」と非難したことはある。
また、バチカンが地方の教会指導者に対して持つ権力を擁護し、ドイツで司祭が同性カップルを象徴的に祝福することを認めようとしていることを批判した。彼は、すべてのカトリック信者に影響を及ぼすような決定を地方の教会が下すことはできないと述べた。
物腰柔らかで上品な人柄のパロリンは、ポーランドのヨハネ・パウロ2世、ドイツのベネディクト、アルゼンチンのフランシスコと、イタリア人以外の教皇が3代続いた後、教皇職をイタリア人に戻すことになる。
彼は1980年の司祭叙階からわずか3年でバチカンの外交部に入ったため、司牧経験は限られている。しかし、彼が有利な要素は、多くの言語を話せることである。
ルイス・アントニオ・ゴキム・タグレ枢機卿（フィリピン、67歳）。
社会正義へのコミットメントが似ていることから、しばしば「アジアのフランシスコ」と呼ばれ、選出されればアジア出身の初の教皇となる。
一般的に 「チト 」というニックネームで呼ばれることを好むタグレは、書類上ではローマ法王にふさわしい条件をすべて満たしているように見える。
1982年に司祭に叙階されて以来、数十年にわたる司牧経験を積んできた。その後、イムス司教、マニラ大司教と行政経験を積んできた。
教皇ベネディクトは2012年に彼を枢機卿に任命した。
バチカンで経験を積ませるためのフランシスコの戦略と見られる動きとして、教皇は2019年にタグレをマニラから異動させ、正式に福音宣教総局として知られる教会の宣教部門の責任者に任命した。
フィリピンはこの地域で最大のカトリック人口を擁することから、彼は「アジアのカトリックの肺」と呼ばれる地域の出身だ。彼の母親は中国系フィリピン人である。イタリア語と英語を流暢に話す。
2015年から2022年にかけて、彼はカリタス・インターナショナルのトップリーダーを務めた。カリタス・インターナショナルは世界160以上のカトリックの救済、社会奉仕、開発組織の連合体である。
2022年、法王フランシスコは、職員に対するいじめや屈辱の告発を受けてその指導部全員を解任し、運営委員を任命した。同じく解任されたタグレは、名目上は会長であったが、日々の運営には関与しておらず、信徒の事務局長が監督していた。
法王の劇的な決定を発表したタグレは、連盟の会合で、この変更は 「我々の失敗に直面する 」瞬間であると語った。この騒動がタグレ法王の教皇就任のチャンスにどのような影響を与えるかはまだわからない。
ジョセフ・トビン枢機卿、ニューアーク大司教、アメリカ人、72歳。
世界の枢機卿が史上初の米国人法王を選ぶとは思えないが、もしその気があるとすれば、トビン氏が最も可能性が高いと思われる。
デトロイト出身の彼は、レデンプトール派として知られるカトリックの主要な修道会の元グローバルリーダーで、世界各国に滞在した経験があり、イタリア語、スペイン語、フランス語、ポルトガル語を流暢に話す。また、バチカンでの奉仕活動や、米国教会全体の要職も経験している。
トビンは2009年から12年までバチカン事務所の副司令官を務め、その後教皇ベネディクトによってインディアナ州インディアナポリスの大司教に任命された。フランシスコは2016年に彼を枢機卿に昇格させ、後にニューアークの大司教とした。
この最新の職務において、重量挙げのトレーニングで知られる大男であるトビンは、近年最も注目を集めたカトリックのスキャンダルの1つに対処した。2018年、ニューアークにおけるトビンの前任者の一人であったセオドア・マキャリック枢機卿（当時）は、神学生に対する性的不正行為の告発で聖職から解任された。
不正行為を否定するマキャリックは枢機卿を辞職し、後にバチカンの法廷によって有罪とされ、神職を解任された。
トビンは、大司教区とマキャリックの被害者とされる人々との間で交わされた極秘の和解を公表することを決定するなど、スキャンダルへの対応で称賛を得た。
トビンは13人兄弟の長男で、アルコール依存症から回復したと語っている。彼はLGBTに対してオープンな態度で知られており、2017年には 「私たちの教会のあまりに多くの部分で、LGBTの人々は歓迎されていないと感じさせられ、排除され、恥をかかされたことさえある 」と書いている。
ピーター・コドォ・アピア・タークソン枢機卿（ガーナ人、バチカン関係者、76歳）。
アフリカの小さな町でのつつましい始まりから、ピーター・タークソン枢機卿は教会で偉大な功績を残し、サハラ以南のアフリカ出身者としては初の法王候補となった。
彼は、ガーナの信徒の世話をしてきた長い司牧経験と、バチカンのいくつかの事務所を率いた実務経験、そして強力なコミュニケーション能力を兼ね備えている。
ヨーロッパの中心地で世俗主義の勢力と闘っている教会にとって、最もダイナミックな地域の出身であることも、彼の地位を高めるはずだ。
10人家族の四男として生まれたタークソンは、当時大英帝国のゴールドコーストと呼ばれていたワッソー・ンスタで生まれた。父親は近くの鉱山で働きながら大工を兼業し、母親は市場で野菜を売っていた。
ガーナとニューヨークの神学校で学び、1975年に司祭叙階を受けた後、ガーナの神学校で教鞭をとり、ローマで高度な聖書研究を行った。
教皇ヨハネ・パウロ2世は1992年に彼をケープコーストの大司教に任命し、11年後には西アフリカ史上初の枢機卿とした。
ヨハネ・パウロの後継者であるベネディクトの下でも昇進は続き、2009年にはバチカンに招かれ、社会正義、人権、世界平和を推進する機関である教皇庁正義と平和評議会の長に任命された。
その役割の中で、彼は気候変動などの問題に関して教皇の最も近い顧問の一人となり、ダボス経済フォーラムなどの会議に出席して注目を集めた。
フランシスコは2016年にタークソンの部署を他の3つの部署と統合し、彼ともう一人の枢機卿との間で権力闘争が起こったと見る向きもある。
タークソンは2021年にその職を辞し、教皇庁の科学と社会科学に関する2つのアカデミーの責任者に任命された。
2023年、彼はBBCに対し、自分が法王に選出される可能性に対して「反対」を祈っていると語ったが、彼のメディア出演を見ると、法王選出のための選挙運動をしているように見える、と彼を非難する者もいた。
マッテオ・マリア・ズッピ、イタリア人、ボローニャ大司教、69歳。
ズッピが2015年に昇進してボローニャ大司教になったとき、国内メディアは、ホルヘ・マリオ・ベルゴリオとして生まれたアルゼンチン出身のフランシスコ法王との親近感から、彼を「イタリアのベルゴリオ」と呼んだ。
ズッピは1978年以来のイタリア人法王となる。
ブエノスアイレスに住んでいた頃のフランシスコ法王とよく似ているズッピは、移民や貧しい人々に焦点を当て、華やかさや儀礼にはほとんど関心を示さない「路上司祭」として知られている。マッテオ神父」の名で呼ばれ、ボローニャでは公用車ではなく自転車を使うこともある。
肉製品を愛するこの街で、ボローニャの守護聖人の祝日に豚肉を使わないトルテッリーニがオプションとして出され、話題を呼んだこともある。ズッピは、イスラム教徒に配慮したこの動きを、敬意と礼儀を表す普通のジェスチャーだと言った。
もし彼がローマ法王になれば、保守派は彼を疑いの目で見るだろう。彼が2022年以来率いるイタリア・カトリック教会は、この問題の調査や解決に遅々として進んでいない。
イタリアの枢機卿は、彼が司祭として人生の大半を過ごしたローマの歴史的地区トラステヴェレを拠点とする世界的な平和と正義のカトリック団体「サンテジディオ共同体」と密接な関係にある。
サンテジディオは「トラステヴェレの国連」とも呼ばれ、1992年にモザンビークで17年間続いた内戦を終結させる和平協定を仲介した。
最近では、ロシア・ウクライナ紛争のローマ法王特使として、ウクライナがロシアやロシアの支配地域に強制送還されたという子どもたちを送還するための努力に力を注いでいる。
ズッピは生粋のローマ人で、かなり濃い地方訛りがあり、カトリックの家系にしっかり根ざしている。
父親のエンリコはバチカン紙『L’Osservatore Romano』の日曜版の編集者で、母親の叔父のカルロ・コンファロニエリも枢機卿だった。
ロイター 』
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ネイピアの骨
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出典検索?: “ネイピアの骨” – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2019年5月)ネイピアの骨 （ネイピアのほね、Napier’s bones） は、ジョン・ネイピアが発明したかけ算や割り算などを簡単に行うための道具である。
概要
基盤と棒からなる。棒は左の図（図は7の棒）のように九九を元にして作られており、同じ棒が何本か用意されている。
ネイピアの骨は、ギリシャ語で「棒」を意味する ραβδoς (rabdos) と、「言葉」を意味する λóγoς (logos) の合成語である ラブドロジー (Rabdology) とも呼ばれる。
ネイピアは、1617年の末にエディンバラで Rabdologiæ という名前で発表した。ネイピアの骨には九九の表が組み込まれており、複数の桁からなる正の整数と、1桁の正の整数の掛け算の計算を足し算だけで済ますことができる。
その応用として、複数桁同士の掛け算や割り算、平方根を求める計算ができる。
ネイピアの骨は、枠を持つ基盤（図中では「BOARD」）と、乗算や除算を行うために基板上に配置されるネイピアの棒（図中では「SET OF RODS」）によって構成される。
基盤の左側には、1から9までの番号が順番に書かれた9個の正方形が並べられている。
ネイピアの棒は、木や金属、もしくは厚紙でできた細長い板である。
ネイピアの棒は9個の正方形に区切られており、一番上を除く全ての正方形が斜線によって左上と右下に分けられている。
一番上の正方形には1桁の数字が書かれており、それ以外の正方形には、一番上の正方形に書かれた数を2倍した数から9倍した数までが順番に書かれている。
ここで、正方形の左上の部分には10の位の数字が、右下の部分には1の位の数字が書かれている。
10未満の数の場合、左上の部分の数字は0である。
一番上の正方形に書かれている数字は、0から9まであるが、0の棒は全ての数字が 0 であり無くても問題ない。
平方根の計算を行う場合は、これ以外に平方数を並べた棒が必要になる。
基本的な積
ネイピアの骨で基本となるのが、複数桁の整数と1桁の整数の積を求めることである。
ここでは、ネイピアの骨を用いて 46785399 × 7 を求める。
基盤に左から 4,6,7,8,5,3,9,9 の棒を順に並べる。
もし0を含む桁がある場合、0の棒が無ければネイピアの棒を置かずに空白にすればよい。
右端から順に、斜めに区切られた部分の数字を順に足していく。足した結果が2桁になる場合は、繰り上がりをし、左側の列にその数を足す。改良されたネイピアの骨。右端の無地の棒は0を表す棒。
上図で色の変えてある 7 行目を拡大し右側に抜き出してある。
この 7 行目の一番右の正方形の右下は3なので、求めるべき積の1の位は3となる。次に、一番右の正方形の左上は6、その左隣の正方形の右下は3なので、求めるべき積の10の位は6+3=9となる。同様に、100の位は6+1=7となる。10万の位は5+9=14となるので、1を繰り上げて100万の位を4+2+1=7とし、10万の位を4とする。従って、求めるべき積は327497793となる。
このような足し算を見やすくするために、棒を傾けて、足す数を縦に並べられるようにした形のネイピアの骨の改良版も作られている。
複数桁の整数同士の積
簡単な応用として複数桁の整数同士も同じように求める事ができる。ここでは 46785399 × 96431 を求める。先程と同じように基盤に左から 4,6,7,8,5,3,9,9 の棒を順に並べる。そして 96431の各桁の（1の位から並べた） 1,3,4,6,9 との積を各行から求めて、上から並べる。桁が上がるごとに左へ桁をずらしながら書いていき最後に足し合わせる。これは、一般に知られている掛け算の筆算と同じである。ネイピアの骨の役割は九九を用いる部分を簡略化し、九九を覚えていない人でもこのような掛け算を容易に行えるようにすることである。
除算
除算も、乗算と同様の方法で行うことができる。ここでは 46785399÷96431の商を求めてみよう。まず、基盤の内側に除数96431に相当するネイピアの棒を配置し、除数96431と1から9までの数との積を上述の方法によって算出する。この値を参考にして割り算の筆算を行えばよい。以上の結果から、
46785399÷96431 = 485 … 16364
となる。ネイピアの骨が使われているのは積を求める部分だけなので、小数点以下の値が必要な場合も普通の割り算の筆算と同様に計算すればよい。
開平法
→「開平法」も参照
平方数の棒
平方根を求める計算には、平方数 1, 4, 9, … 81 を並べた棒が必要になる。この棒は一番右に置いて使う。ここでは例として、 1 の棒、 3 の棒と平方数の棒を並べた図を用いる。ネイピアの骨の基本的な演算と同じく、足し算によって求めた各行の値を右端に付記した。この演算は、
(130+n)×n = 13×n×10 + n2
を n 行目の値とする演算である。 4 行目なら 134×4 = 536 に等しい。平方根を求める計算ではこの演算がとても重要になる。平方根の求め方
ここでは例として 46785399 の平方根を求める。開平算を用いるときにまずすることは、小数点を基準にして二桁ずつに数字を分けることである。いまの場合46|78|53|99
となる。これは偶数桁でちょうど 2つずつに分かれたが、奇数桁の場合は最上位が 1つになる。例えば 27183の場合は 2|71|83 となる。整数ではなく小数部を持つ数の場合も小数点を基準にして 2桁ずつにわける。133.1415 であれば、 1|33.|14|15 と分ける。
最上位の区分の 46 に着目し 46 以下の平方数で最も大きいものを探すと 62 = 36 である。この 6 が平方根の最上位の数字になる。下図の中央にある筆算で赤い 6がこれにあたる。赤い四角で囲んだ 46 の下に 36 と書き引き算して 10 が得られる。次のブロックの 78 （青色の枠）を下ろしてきて 1078 とする。
ここでネイピアの骨を使う。赤い 6 の 2 倍、すなわち 12 （ 1 の棒と 2 の棒）を基盤に並べる。さらに右端に 平方数の棒を加えたものが下図の左上の基盤 1 である。各行を計算した値が右端に書いてある。 1078 以下で最も大きな数である行を探すと 8行目の 1024 が見つかる。これを 1078 の下に書き引き算を行い、 54を得る。このときの行数の 8 が平方根の次の桁の値（青色）になる。次のブロックの 53 （緑色の枠）を下ろしてきて 5453 とする。
1 の基盤に並べた 12 を 10 倍して 120。いま得た平方根の 2 桁目の値 8 を 2 倍して 16。これらを足して 120 + 16 = 136。この値が下図の右上の 2a の基盤になる。さらに平方数の棒を右端に並べ左下の 2bの基盤になる。 2b の基盤にも各行を計算した値が書いてある。この値の中から 5453 以下で最も大きい数を探すと 3行目に 4089が見つかる。これを 5453 の下に書き引き算をして 1364 を得る。この時の行数である 3 が平方根の次の桁の数字（緑色）になる。
以下は同じことの繰り返しをする。
99 （桃色の枠）を下ろしてきて、 136499 を得る。
基盤 2b で用いた 136 を 10 倍し、今、新たに得た平方根の値 3 （緑色）を 2 倍し両者を足すと 136×10 +3×2 = 1366 を得る。
1366 を基盤に並べ平方数の棒を右端に添えると下図の右下にある基盤 3 のようになる。
136499 以下で最も大きい数を基盤 3 から探すと 9 行目の 123021 が見つかり、136499 の下に書いて引き算をすると 13478 を得る。この時の行数である 9 が平方根の次の桁の数字になる。以上の計算により
46785399
≒
6839.
⋯
{\displaystyle {\sqrt {46785399}}\fallingdotseq 6839.\cdots }
ということが分かる。関連項目
そろばん
アバカス
計算尺
算木
算盤
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最終更新 2022年10月20日 (木) 11:47 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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ジジイがあれこれ考えた 