上述の式から明らかなように、x と y の役割を入れ替えれば、x は y の逆数であると言える。従って、x の逆数が y であるとき y の逆数は x である。
x が 0 である場合、任意の数との積は 0 になるため、（0 ≠ 1 であれば）0 に対する逆数は存在しない。
また、任意の x について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は x = y = 1 以外には存在しない。0 を除く任意の数 x について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。
逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。
1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの（代数的構造）はループと呼ばれる。
例 以下に具体例をいくつか挙げる。ここで e はネイピア数、i は虚数単位、r は複素数の絶対値、θ は複素数の偏角を表す。また、z は複素数 z の共役複素数、|a| は数 a の絶対値を表す。
9 の逆数は 1 / 9 。同様に 1 / 9 の逆数は 9。 2 / 3 の逆数は 3 / 2 。同様に 3 / 2 の逆数は 2 / 3 。 0.3 の逆数は 1 / 0.3 = 10 / 3 。同様に 10 / 3 の逆数は 3 / 10 = 0.3。 −5 の逆数は 1 / −5 = − 1 / 5 = −0.2。 −|a| の逆数は 1 / −|a| = − 1 / |a| 。 i の逆数は 1 / i = i−1 = −i。 3 + 4i の逆数は 1 / 3 + 4i = 3 − 4i / 25 。 x + yi の逆数は 1 / x + yi = x − yi / x 2 + y 2 。 reiθ の逆数は (reiθ)−1 = 1 / r e−iθ。 複素数 z の逆数は 1 / z = 1 / |z|2 z。 合同式での逆数 →詳細は「モジュラ逆数」を参照 合同式において逆数を考えることができる。a × b を m で割ると 1 余るとき、b を a の m を法とする逆数と呼ぶ。合同式で表すと以下のようになる。
a × b ≡ 1 ( mod m ) . {\displaystyle a\times b\equiv 1{\pmod {m}}.} 例えば、4 × 2 ≡ 1 (mod 7) となるので、法 7 において 2 は 4 の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、0 の逆数は存在せず、1 や −1 の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、m の倍数の逆数は存在せず、(km ± 1) の逆数はそれ自身になる。
定義上、a は m と互いに素である必要がある。つまり、一般に合同式での逆数は存在するとは限らない。例えば、7 × b ≡ 1 (mod 42) や 12 × b ≡ 1 (mod 4) を満たす b は存在しない。
a × a φ ( m ) − 1 ( mod m ) {\displaystyle a\times b\equiv 1\equiv a^{\varphi (m)}=a\times a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}} なので、
b ≡ a φ ( m ) − 1 ( mod m ) {\displaystyle b\equiv a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}} （ここで φ はオイラーのφ関数）であり、逆に a と m が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、m が素数の場合以下のようになる（フェルマーの小定理から直接導かれる）。
b ≡ a m − 2 ( mod m ) . {\displaystyle b\equiv a^{m-2}{\pmod {m}}.} また、ユークリッドの互除法によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下のベズーの等式（ディオファントス方程式の一種）が b と n について整数解を持つことと同値である。
a × b + m ×
n
1. {\displaystyle a\times b+m\times n=1.} この式の解は、a と m が互いに素である場合、かつその場合に限り存在する。
日本における学校教育 日本の小学校では、小学6年生で分数の掛け算・割り算について学習する際に、逆数について学習し、x（実際には具体的な数を用いる）で割ることと 1 / x を掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。この事は中学校の課程で、加法における逆元、つまり負の数について学ぶ準備になっている。
すぐわかるように、2位の「波の花沖から咲きて散りくめり水の春とは風や なるらむ」などをはじめ、非常に意味的に類似度の高い歌が選ばれていることがわかる。 これは別に『古今集』内部に限らない。たとえば、現代日本語(例、「桜の花の散るのを 惜しむ気持ちを表現する」)や英語(例、A song that expresses the feeling of regretting separa- tion from a friend.)で文を作って、それをベクトル化して比較することも可能である。 また、今回の研究で行うような、日本語と中国語の比較文学的な考察では、漢文も扱え ることは大きなメリットである。
注1 各ベクトルの数値は、最大値:0.34から、最小値:-0.64、平均0程度に分布している。 注2コサイン類似度は、コサイン距離とも言われ、ベクトルの類似度を測るもっとも一般的 な数学的手法である。ベクトルの類似度は、その相互の作る角度によるのが一般的である が、その角度のコサインを得ることで、類似度を0から1までの数値で表現できる。何次 元のベクトルであっても同様に計算できる。 注3水谷静夫(1982)では、数量化理論!E類を用いて、一首中の、複数の単語の共起情報を2 次元にすることで、その散布図において「梅」か「桜」かを弁別する方法を示している。 共起情報による数量化の方法は、現在の大規模言語モデルの方法に類似している部分があ る〇 注4ここでも、X軸の大小の方向は異なるが、これは特に意味はない。 注5 3次元の場合の各次元の数値は以下の通りである。 〔特別寄稿〕和歌集の歌風の言語的差異の記述117 固有値:[0.00796909 0.00525808 0.004523071 寄与率:[0.05528386 0.03647677 0.031377841 累積寄与率:[0.05528386 0.09176063 0.123138471 使用テキスト 『万葉集」(日本語歴史コーパス•底本(小学館新編日本古典文学全集)) 『古今集JI (日本語歴史コーパス•底本(小学館新編日本古典文学全集)) 『後撰集JI (日本語歴史コーパス•底本(正保版本「二十一代集」)) 『和漢朗詠集JI (Wikisourceテキストファイルを改編•底本不明•日本古典文学大系で校訂) 『文華秀麗集JI (浦本裕氏webサイト資料を改編•底本(岩波書店日本古典文学大系)) 引用参考文献•Webサイト一覧 浅原正幸•加藤祥(2020)rr日本語歴史コーパス」の文脈化埋め込みに基づく意味空間」「人文 科学とコンピュータシンポジウム」発表要旨、2020年12月 岡野原大輔(2023)『大規模言語モデルは新たな知能か——ChatGPTが変えた世界一J岩波書店 水谷静夫(1982)『数理言語学」現代数学レクチャーシリーズD-3 •培風館 片桐洋一(1990)『新日本古典文学大系後撰集」岩波書店、解説 川口久雄(1959)『三訂平安朝日本漢文学史の研究 中」明治書院、366-367頁 小町谷照彦(1996)「古今和歌集の成立」『岩波講座日本文学史• 2巻•九•ー〇世紀の文学」 岩波書店 近藤泰弘(2022)「平安時代語に見られるジェンダー的性質について——通時コーパスによる分 析——」日本語学会2020年度春季大会シンポジウム 菅野禮行(1999)『新編日本古典文学全集 和漢朗詠集」小学館、「和漢朗詠集をどう読むか」 渡辺秀夫(1991)『平安朝文学と漢文世界」勉誠社「6章 古今集歌に見る漢詩文的表現」 OpenAI (2023) Embeddings URL:https://platform.openai.com/docs/guides/embeddings/what-are- embeddings 謝辞:本研究で用いたコーパスは、国立国語研究所「日本語歴史コーパス」である。バージョ ンは、以下の通り。関係者の皆様に感謝申し上げます。 国立国語研究所(2023)『日本語歴史コーパス」(バージョン2023.3.中納言バージョン2.7.2) https://clrd.ninjal.ac.jp/chj/ (2023 年 9 月1日確認) また、本研究は、国立国語研究所通時コーパスプロジェクトの研究成果の一部である。 ——青山学院大学名誉教授—— (2023年10月10日 受理) 118 Studies in the Japanese Language Vol.19, No. 3 (2023) Describing Linguistic Variations in Waka Collections: An Analysis Using Large Language Models Kondo Yasuhiro Keywords: Waka, Large Language Models, Embedding Vectors, Poetic Style, Principal Component Analysis Traditionally, the investigation of the “poetic style” inherent in a collection of Waka was centered around the study of vocabulary distribution and bias. However, with the recent advancements in machine learning, research utilizing word embedding vectors such as word2vec has become feasible. In this study, we demonstrated that by applying principal component analysis to sentence embedding vectors generated by large language models, we can describe the se- mantic system at the core of Waka’s poetic style. Moreover, we observed sub- stantial differences between the “Kokin Wakashu” and “Man?y6shu” and dis- cussed the potential influence of Chinese poetry on these variations.
ジジイがあれこれ考えた 