※ εδ論法とは、「後出しジャンケンである！」…。
「限りなく」という表現のとらえ方が人によって違うことを認め、相手に「先に、提示させ」、「～の時に、その値になる」を示し、次々にそのことを「証明」していく…。
そういう「構造」の「論法」なんだな…。
そういう「納得させる」「構造」こそが、この「論法」の本質である…、というわけだ。
なるほど、よくわかった。納得した…。
カテゴリー: 精神活動
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『＜紹介文＞
中学校や高校の授業で学ぶことは「実生活では役に立たない知識」と誤解されがちです。しかし，実際には私たちの暮らしのあちこちで役に立っています。
たとえば，「数列」の知識は最新のビデオゲームなどにも活用されていますし，「指数・対数」や「微分積分」で自然界の現象を把握することができます。
「三角関数」は土地の傾きや距離をはかることだけでなく，家電製品にも応用されているのです。
本書は，中学・高校で学ぶ数学の単元をやさしく解説するだけでなく，それらの知識からさらに一歩踏みだし，ビジネスや日常生活に数学が活用されるようすや，奥深い魅力も紹介しています。
かつて学んだ人だけでく，これから学ぶ人にも，数学を「面白い！」と感じてもらえるはずです。ぜひお楽しみください。＜目次＞
1 「数」と「数列」を使いこなそう
社会を支える数学
正と負の数
有理数と無理数
column 1 自然数も実数も無限個ある。では，どちらのほうが多い？
虚数
column 2 負の数の登場は数学界で驚異的な出来事だった
column 3 コピー用紙には2と3がかくれている
数列
column 4 かけ算の可視化
ベクトル
ベクトルと行列
column 5 割り算と歯車
第1章 公式集2 「図形」で空間を把握しよう
点・線・角
基本作図
三角形と四角形
column 6 円と直角三角形の不思議な関係
column 7 円の中心を探せ！
相似
column 8 「相似」で考える星の明るさ
column 9 プラトンと正多面体
第2章 公式集3 「関数」で見えないものを予測しよう
関数
指数関数
指数関数の威力
指数と対数の関係
対数関数
身近な対数
対数グラフ
三角関数 ①〜②
column 10 三角関数の起源
ソーラーパネルと三角関数
ピザを6等分にする三角比
第3章 公式集4 「微分積分」でものごとの変化を測定しよう
微分
微分の本質
積分
積分と体積
微分積分学の基本定理
微分方程式
column 11 アルキメデスの取り尽くし法
column 12 無限に小さな部分を足すという積分のアイデア
column 13 ヒーターの温度調節に微分積分を活用
第4章 公式集5 「確率と統計」でものごとの法則性をみつけよう
確率とは何か
期待値
大数の法則
ギャンブルの確率
条件付き確率
オオカミ少年
統計学とは何か
分散と標準偏差
正規分布
column 14 健康診断の基準値と正規分布
相関
相関係数
回帰分析
天気予報の確率
場合の数
コイン投げ
第5章 公式集6 社会で役立つ中高の数学
利益の比較
新製品の利益予測
利益目標から定価を設定
数に強くなる
実感できる数にする
補償額を計算する
斜めの土地をはかる
建物の傾き
column 15 最新のVRゲームが楽しめるのも三角関数のおかげ
データのグループ分け
分散投資と数学Topics 数列』
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幾何学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
『出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
18世紀の百科事典の幾何学図形の表。
最先端の物理学でも用いられるカラビ-ヤウ多様体の一種。現代幾何学では図も描けないような抽象的な分野も存在する。
20世紀における初等幾何学の授業風景。
幾何学（きかがく、英語: Geometry、ジオメトリー、古代ギリシア語: γεωμετρία、ゲオメトリア）は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である[1][2]。
もともと測量の必要上からエジプトで生まれたものだが、人間に認識できる図形に関する様々な性質を研究する数学の分野としてとくに古代ギリシアにて独自に発達し[3]、これらのおもな成果は紀元前300年ごろエウクレイデスによって『ユークリッド原論』にまとめられた[2]。
その後中世以降のヨーロッパでユークリッド幾何学を発端とする様々な幾何学が登場した[3]。
単に幾何学と言うと、ユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学をさすことが多く、一般にも馴染みが深いが[3]、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し[1]、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している[2][3]。
語源
クリストファー・クラヴィウスの門下生のイエズス会マテオ・リッチと中国明の徐光啓は、1607年に、クラヴィウスによる注釈付きのユークリッドの『原論』 (“Euclidis elementorum libri XV”) の前半6巻を『幾何原本』に翻訳した[4][5]。
また1680年頃にジョアシャン・ブーヴェとジャン＝フランソワ・ジェルビヨンはIgnace-Gaston Pardies（英語版）の”Elements de geometrie”を同様の名前の『幾何原本』に翻訳した[6]。
一般に「幾何学」という語は、マテオ・リッチによる geometria の中国語訳であるとされるが[7]、本文中では「幾何」は「量」という意味で使われている[4][8]。
また以前は geometria の冒頭の geo- を音訳したものであるという説が広く流布していたが、近年の研究により否定されている[8]。
「幾何」という漢字表記そのものは「幾らであるか」といった程度の意味であり九章算術や孫子算経には多くこの表現が見られる。
訳語としての「幾何」は元はアリストテレス哲学にでてくる10の範疇うちの一つ「量」の訳語であり、「幾何学」についてはmathemathicaの訳語であった。
このことはジュリオ・アレーニの『西学凡』の中で明文化されて説明されている[8][9]。この語がgeometryにのみ関連付けられる習慣が定着したのは19世紀半ば以降であると思われる[8]。
歴史
以下では様々な幾何学の発展とその概要を、歴史にのっとって時系列順に述べることとする。
起源
幾何学（ジオメトリー）の語源は「土地測量」であり[注釈 1]、起源は古代エジプトにまで遡ることができる[10]。
古代ギリシャの歴史家ヘロドトスの記録[10][11]では、エジプトでは毎年春になるとナイル川が氾濫し、エジプトの砂漠に農耕を可能にする河土を運んでくるが、去年の畑の境界線はすべて流れてしまう。
そのため、印をつけた縄でまっ平らになった土地を元どおり区割りする「縄張り師」と呼ばれた測量専門家集団が現れ、土地測量術が発達した。現在、ピタゴラスの定理として知られている数学定理が、古代エジプトではすでに5000年前に経験則として知られ、縄張り師たちは3:4:5の比率で印をつけた縄を張って、畑の角の直角を取ったという[3]。
直角二等辺三角形におけるピタゴラスの定理の適用。’”
UNIQ--postMath-00000001-QINU“‘である。直角二等辺三角形におけるピタゴラスの定理の適用。
1
2
+
12
2
{\displaystyle {\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}}である。古代から世界各地で知られていたピタゴラスの定理の証明の一種。下と右の正方形の面積の和は左の正方形の面積に等しい。
古代から世界各地で知られていたピタゴラスの定理の証明の一種。下と右の正方形の面積の和は左の正方形の面積に等しい。古代中国におけるピタゴラスの定理の証明。
古代中国におけるピタゴラスの定理の証明。古代バビロニアにおけるピタゴラスの定理。
古代バビロニアにおけるピタゴラスの定理。古代ギリシャの幾何学
幾何学が大きな進歩を遂げた最初は、他の数学の分野と同じように古代ギリシアにおいてであった。
初期のギリシャ幾何学
人物としては、タレス、ピタゴラスなどが有名である[10]。
タレスは三角形の合同を間接測量に応用し、ピタゴラスらはこれらを証明により厳密に基礎づけた[10]。
彼らはそこで多くの定理を発見し、幅広くそして深く図形を研究したが、特に注記すべきなのは、彼らが証明という全く新しい手法を発見したことである。
数学的意味での証明の誕生と原論の成立
パピルスに記録されたユークリッド原論の断片。
パピルスに記録されたユークリッド原論の断片。原論の著者とされるユークリッド。
原論の著者とされるユークリッド。とくにピタゴラスは後のギリシャ数学者達に影響を与え、ユークリッドもその一人であった[3]。
自明な少数の原理（公理など）から厳密に演繹を積み重ねて当たり前とは思えない事柄を示していくやり方は、ユークリッドの手により『原論[12]』において完成され、後の数学の手本となった。
ユークリッドの手により証明をもとに体系化されたギリシャ数学は、曖昧さが残るエジプトやバビロニアのものより圧倒的に優位であったといえる[3]。
曖昧な経験の集積ではなく、それらを体系化された理論にまとめあげ少数の事実から全てを演繹するという手法は長らく精密科学の雛型とされ[11]、後世ではニュートンの古典力学なども同様の手法で論じられている。
このような手法は古代ギリシャにのみ誕生したが、それは何故かという問題は科学史の重大な問題である[11]。
ユークリッド原論はB.C.300年ごろに出版され、全13巻からなり、幾何学以外にも量や数論なども記述があるが、これらも幾何学的に取り扱われた[10]。
また原論は幾何学のバイブルとしてその後2000年以上にも渡って愛読され続けた[3]。
後期のギリシャ幾何学
正五角形の古典的作図法。ユークリッド幾何学では定規は直線を引くためだけに用い、コンパスは紙から離したらすぐに閉じねばならない（何かの長さをコンパスでとり他の何かの長さと比較するなどして他の何かの長さを推察できない）という厳格なルールがある[13]。
正五角形の古典的作図法。ユークリッド幾何学では定規は直線を引くためだけに用い、コンパスは紙から離したらすぐに閉じねばならない（何かの長さをコンパスでとり他の何かの長さと比較するなどして他の何かの長さを推察できない）という厳格なルールがある[13]。円錐曲線論（ダンドラン球面）に関する図。
円錐曲線論（ダンドラン球面）に関する図。その後前三世紀ごろにペルガのアポロニウスによって円錐曲線論（コニカ）がまとめられ[14]、天文学の発達により前一、二世紀ごろに三角法も誕生した。
パップスは300年ごろに幾何学を中心とする古代ギリシャの数学の成果を「数学集成 (Synagoge)」にまとめあげた[10]。
とくにアポロニウスは初歩的な座標の概念をも導入し、二点からの距離の和・差・積・商が一定である曲線の集合を研究した[11]。
彼の円錐曲線の理論は、カッシーニの卵形線は17世紀に入ってから開拓されたものの他の分野のほぼ全てはアポロニウスの手によって研究された[11]。
ヨーロッパにおける幾何学
ヨーロッパでは長く、「幾何学的精神」という言葉が厳密さを重んじる数学の王道ともいうべきあり方とされた。
「幾何学的精神」という用語はパスカルによって導入された哲学用語であり、ユークリッド幾何学に見られるように、少数の公理形から全てを演繹するような合理的精神をさし、逆に全体から個々の原理を一挙に把握するという意味の「繊細の精神」の対義語として与えられた[15]。
また、エジプト王プトレマイオスが幾何学を学ぶのに簡単にすます道が無いかという問いに対しユークリッドはそんな方法はなく、「幾何学に王道無し」と言ったことからより一般に「学問に王道なし」との言葉も生まれた[16]。
ここで王道とは王のみが通れる近道の意である[16]。中世ヨーロッパのユークリッド幾何学
中世ヨーロッパでユークリッド幾何学が教えられている様子。
ヨーロッパにおいては19世紀初等までは、幾何学といえばユークリッド原論から発達した三次元以下の図形に関する数学をさしていた[10]。
ヨーロッパではルネッサンス以降はジェラルモ・カルダーノやルドヴィゴ・フェラーリに見られるように代数学が盛んであり、17世紀以降はニュートンやライプニッツらによって開かれた解析学も急激に発達したため、幾何学はこれらの分野とよく対比されることとなった[10]。
しかしルネサンス期においてはこれらに比べ幾何学の成果は乏しく[11]、当時の目立った成果を上げれば15世紀に透視図の考えを応用し射影幾何学の元となる概念が登場したり[11]、古代ギリシャでは砂に図を書いていたためか[11]運動はタブーであったが、14世紀ごろより図形を直接動かしてその変化考察するという後に解析学へと繋がる考え方も登場した[11]などが上げられる。
解析幾何学誕生
デカルトによって導入された座標平面。点と数の組が対応していることがわかる。
デカルトによって導入された座標平面。点と数の組が対応していることがわかる。デカルトの幾何学に関する著作のページ。
デカルトの幾何学に関する著作のページ。デカルト : 解析幾何学の礎となる直交座標の概念を導入。
デカルト : 解析幾何学の礎となる直交座標の概念を導入。オイラー : 解析幾何学を発展させるにとどまらず、業績は当時の数学とその関連分野全般に渡る。
オイラー : 解析幾何学を発展させるにとどまらず、業績は当時の数学とその関連分野全般に渡る。ユークリッド原論にも見られるように、数は図形として対応させて考えることもできる。
ルネ・デカルトはこの考えを拡張して直交座標系を導入し、解析幾何学を導入した[10][17]。
解析幾何学は平面や空間に座標を定めて数と図形との関係を与え、逆に数を幾何学的に扱うことをも可能とした[10]。それまでは幾何学的証明に限られた幾何学の問題を代数的に解くことも可能となったのである[10]。座標の概念はピエール・ド・フェルマーも研究していたが、欧米ではgéométrie cartésienne（デカルト幾何学、cartésienneは「デカルトの」の意）と呼ばれるようにデカルトの影響が極めて強い[11]。
例えば直交座標平面上の任意の点の原点からの距離はピタゴラスの定理によって与えられるが、これは解析幾何学においては公理である[18][19]。
解析幾何学はデカルトの哲学体系では数と図形の統一を目指したものであるが、アポロニウスの残した未解決問題、例えば三定点からの和が一定の曲線の研究なども目的とされていた[11]。
現代においてはコンピュータの画面表示などにも座標の概念が応用されている[11]。また、幾何学の問題は現代では線型代数学すら応用されて解かれることも多い[11]。
解析幾何学の方法はヨーロッパ数学において同時期に発達した代数学や解析学においても盛んに用いられ、とくに17世紀解析学の発達は解析幾何学抜きには語れないであろう[10]。
18世紀にはレオンハルト・オイラーによって解析幾何学は急激に発達させられその成果がまとめられた[20]。
オイラーの手によってアポロニウスによる古典的円錐曲線論は二次曲線や二次曲面論として解析幾何的手法を用いて代数的に書き換えられることとなった[10]。
トポロジー・グラフ理論の起源
→「一筆書き」も参照当時のケーニヒスベルクの橋の配置
またオイラーは当時のケーニヒスベルクの橋を、一度渡った橋は二度と渡らないで、全ての橋を一度だけ渡ることは可能であるか？という問題より、今日の位相幾何学やグラフ理論の起源となる概念が生まれた[11]。
微分幾何学の黎明
ガウスも当時の数学関連分野全般に業績があるが、幾何学においては微分幾何学や非ユークリッド幾何学の初歩概念等に業績がある。
とはいえ非ユークリッド幾何学については論争を恐れ公表しなかった。初歩的な微分幾何学では微積分が幾何学へ応用された。
さらに18世紀末には微積分や変分学といった解析学の成果も幾何学へ応用され、ガスパール・モンジュによる曲線と曲面の微分幾何学の開拓が行われた[10]。
19世紀初頭にはガウスによって曲面の曲率などが求められ、微分幾何学が本格的に研究された[10]。
総合幾何学、射影幾何学
射影幾何学で重要なデザルグの定理に関する図。
このようにデカルトによってその基礎を打ち立てられ、代数的・解析的に取り扱えるという強力な手法を提供した解析幾何学であるが、解析幾何学が幾何学研究において絶対的な方法であったかといえば必ずしもそうではなかった。
解析幾何学のように座標を導入せずに、ユークリッド幾何学のように直接図形を研究する手法も解析幾何学ほどはメジャーではなかったが行われていた。
このような手法を総合幾何学(synthetic geometry) 、あるいは純粋幾何学(pure geometry)という[10]。純粋幾何学における新概念は、遠近法を発端として17世紀にジラール・デザルグとブレーズ・パスカルらによって始められた射影幾何学が挙げられる。
18世紀にはモンジュ（図法幾何学で有名である）とポンスレらにより、射影幾何学は更に研究され、19世紀に入ってもシュタイナーは総合幾何学を重視している[10]。
20世紀に入っても総合幾何学を重視した者としてコクセターが挙げられる[21][22]。ほかにも、ラングレーの問題などは20世紀に入ってから出された問題である。非ユークリッド幾何学
→「平行線公準」も参照角αと角βの和が180度より小さければ、点線の方向に線を延長していくと二つの直線はいつか必ず交わるというのが平行線公理。
角αと角βの和が180度より小さければ、点線の方向に線を延長していくと二つの直線はいつか必ず交わるというのが平行線公理。ところが非ユークリッド幾何学では空間が曲がっているからそれは成り立たない。
ところが非ユークリッド幾何学では空間が曲がっているからそれは成り立たない。長らく原論の平行線公準は幾何学において問題となったが、この公理を他の公理から導出しようとする試みは全て頓挫した[10]。
もし平行線公理が公理でなければ、ほかの公理系から導出できるはずだと試みられて失敗したわけである。19世紀に入ってようやく、他の公理はそのままに平行線公理のみをその否定命題に置換してもユークリッド幾何学に似た幾何学が成立することがボーヤイ・ヤーノシュ、ニコライ・ロバチェフスキーらによって示され、非ユークリッド幾何学が誕生した[10]。
非ユークリッド幾何学の無矛盾性はユークリッド幾何学の無矛盾性に依存し、後者が無矛盾であれば前者も無矛盾であるとされ、両者の差異は単なる計量テンソルの違いに過ぎないことが明らかにされた[10]。
幾何学基礎論
幾何学基礎論を研究したヒルベルト。これ以外にも広い業績がある。
幾何学は人間の図形的直感に基づいて研究されるが、直感のみに基づいて研究するわけにはいかない。
そのためあいまいな直感ではなく明確に言葉や定義によって言い表された定義や公理に基づいて幾何学を体系化する試みは既にユークリッドによってなされたのだが、現代からみればこれは不完全なものであった[23]。19世紀に入って、批判的精神や数学そのものの発達によりユークリッド幾何学の公理系が実は論理的に不完全であることが指摘された[23]。
平行線公理問題や非ユークリッド幾何学の誕生などもそのような流れの一つとしてあげられるだろう[23][24]。
数学者にとって公理系が論理的に不完全であれば、正しい方法で証明したはずの定理からも矛盾が出てしまうため、これが恐れられ一時期盛んに矛盾しない理想の公理系の探求が行われたわけである。
その探求の目的は幾何学を公理系から建設するための無矛盾な公理系の発見とその公理系によって構成される幾何学の構造、更にはそのような複数の公理系間の関係（ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学との関係のような）であった[24]。
19世紀後半よりその様々な代価案が提出されてきたが[23]、最も決定的であったのが19世紀後半から20世紀初頭にはダフィット・ヒルベルトによって提唱されたものであり[23]、その成果は著書「幾何学の基礎[25][26][27]」にまとめられた[10]。
過度に抽象的な幾何学の教育への導入に抵抗し、初等幾何学の復活を唱えた[28]小平邦彦。
過度に抽象的な幾何学の教育への導入に抵抗し、初等幾何学の復活を唱えた[28]小平邦彦。ユークリッドの教育からの追放を提唱したデュドネ。
ユークリッドの教育からの追放を提唱したデュドネ。ヒルベルトは論理的整合性のために感覚から完全に分離された幾何学を唱え[3]、この本では点や線といった専門用語を机や椅子などに置換してすら成立するとまで言われたが、それにしては図が沢山あるため小平邦彦などによって批判された。
図すら一切存在しない初等幾何の基礎付けはジャン・デュドネの「線形代数と初等幾何」を待たねばならないだろう。
デュドネの本には図すら存在せず、ある意味専門用語ですら無意味であるというヒルベルトの精神を体現しているといえる。このような限界までの考察によって、公理とは「誰もが認めうる真理」ではなく、「理論を構成するための根本的要請」という考えにシフトしていった[11]。
このような極端に具体例を軽視し形式主義に走る手法は今日の公理主義的数学の先駆けと見ることができる[10]。
岡潔や小平邦彦などは極端な抽象化に警鐘を鳴らし、岡などは数学の冬の時代とまで称した。
しかし具体例や数学的直感を軽視するのが悪いことではなく、あくまで公理系の無矛盾性が大多数の数学者にとって問題であり、そのため数学の基礎や証明などの根本的部分にその批判が差し向けられたのである。
公理系が矛盾していたら正しくはじめたのにおかしな結果が出てくるかもしれないことが問題視され、この方法は幾何学基礎論から発端となったが同時期に問題となった集合論のパラドクスもあいまって[24]、幾何学にとどまらず数学基礎論としてヒルベルトらにより研究が継続されることとなる[3]。
高次元幾何学
リーマン : 複素解析の幾何学的概念（リーマン球面など）や一般相対論の元になる微分幾何学の基礎を確立。
解析幾何学では三次元ユークリッド空間の幾何学は空間幾何学 (space geometry)、または立体幾何学 (solid geometry) と呼ばれ、二次元ユークリッド空間の幾何学は平面幾何学 (plane geometry) と呼ばれる[10]。これを一般化し、n個の実数の組からn次元空間の点を定義し、それらの任意の二点間の距離空間を定めてn次元ユークリッド空間を構成することができる[10]。同様にn次元空間は非ユークリッド幾何学や射影幾何学についても定めることができる。これらのような様々な空間の研究は19世紀中頃に本格的に行われ、リーマンはn次元の曲がった空間から多様体の概念を導入し、計量として接ベクトル間の内積で曲率を定義した[10]。このような様々な幾何学はアインシュタインが一般相対性理論の研究を行った際に数学的道具を提供した[10]。より一般的には、P・フィンスラーは接ベクトルのノルムを計量とするフィンスラー空間の概念を提唱した。
現代の幾何学
幾何学と群論との関係を見いだしたクライン。
トポロジーの基礎を確立したポアンカレ。
トポロジーにおける連続的変化の一例。（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Mug_and_Torus_morph.gif ）
フェリックス・クラインは幾何学に群論を応用することによって、空間Sの変換群Gによって、変換で不変量な性質を研究する幾何学を提唱した。
これをエルランゲン・プログラム[26]というが、この手法で運動群がユークリッド幾何学を定めるように、射影幾何学、アフィン幾何学、共形幾何学を統一化することができる[10]。更に19世紀末にはアンリ・ポアンカレによって、連続的な変化により不変な性質を研究する位相幾何学が開拓された[10]。
代数曲線・曲面や代数多様体が起源である代数幾何学[10]は高度に発達し、日本でもフィールズ賞受賞者も多く盛んに研究されている。
またヘルマン・ミンコフスキーによる凸体の研究は「数の幾何学」（注：数論幾何学とは異なる）の道を開いた。
20世紀前半には多様体は数学的に厳密に定式化され、ヘルマン・ワイル、エリ・カルタンらにより多様体上の幾何学や現代微分幾何学が盛んに研究された[10]。
ソフス・リーによって導入されたリー群によって、これらの様々な幾何学を不変にする変換群が与えられたが、カルタンはリー群を応用して接続の概念を導入し接続幾何学を完成させ[3]、これらの幾何学を統一化することに成功した[10]。
これはリーマンによる多様体と、クラインによる変換群の考えを統一化したとも理解できる[10]。
これは現代では素粒子物理学などの物理学の諸分野でも常識となっている。
また、代数学や解析学の発展もともなって、多様体の代数的構造と位相空間との関係を研究する大域微分幾何学、複素解析と関係する複素多様体論、古典力学の力学系と関連したシンプレクティック幾何学や接続幾何学、測度論と関連して積分幾何学や測度の幾何学的研究である幾何学的測度論の研究などもこのころにはじまった[10]。
20世紀後半になると多様体上の微分可能構造や力学系、微分作用素なども上記の幾何学とも関係しながら研究が進められた[10]。
他にも幾何構造をなすモジュライ空間や特異点を含む空間の研究、物理学と関連した研究や四色定理に見られるようにコンピューターを用いた研究も行われた[10]。
凸体の幾何学や組み合わせ幾何学の手法は現代ではオペレーションズ・リサーチなどの応用数理の分野でも用いられている[10]。
現代数学と幾何学
代数幾何学に登場する図。
現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透しているため、これらと明確に区別して幾何学とはなにかということを論ずるのは難しいが、しかしながら図形や空間の直感的把握やそのような思考法は先端分野の研究においても重要性を失っていないといえる[10]。
下位分野
現代の幾何学の主要分野は以下は四種類である[29][30]。
位相幾何学
微分幾何学
代数幾何学
離散幾何学うち、代数幾何学は代数学の一部、離散幾何学は離散数学の一部に分類されることもある。このため、幾何学専攻・幾何学研究室を称する場合は主に位相幾何学か微分幾何学が専門であることが多い。
細かい分類は以下のようになる。
綜合幾何学
ユークリッド幾何学
初等幾何学
三角形幾何学（ドイツ語版）
幾何学基礎論
非ユークリッド幾何学
楕円幾何学
球面幾何学
双曲幾何学
非アルキメデス幾何学
射影幾何学
アフィン幾何学
解析幾何学
代数幾何学
数論幾何学
ディオファントス幾何学
微分幾何学
リーマン幾何学
シンプレクティック幾何学
複素幾何学
有限幾何学
離散幾何学
デジタル幾何学
凸幾何学
計算幾何学
フラクタル
インシデンス幾何学
非可換幾何
非可換代数幾何学脚注
[脚注の使い方]注釈
^ 術語「幾何」は古代ギリシア語: “γημετρεω” に由来し、その語義は土地測量（「古代ギリシア語: “γη”（ゲー）：土地」および「”μετρεω”（メトレオ）：測定」）である。この構成は 英語: “geometry” でも同じ（”geo”：土地、”metry”：測量）。
出典
^ a b 広辞苑第六版「幾何学」より
^ a b c デジタル大辞泉『幾何学』 – コトバンク
^ a b c d e f g h i j k ブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学」より。
^ a b “幾何原本. 第1-6巻 / 利瑪竇 口訳 ; 徐光啓 筆受”. 早稲田大学図書館. 2020年12月7日閲覧。
^ 杜石然「イエズス会士と西洋数学の伝入」『中国言語文化研究』第1巻、佛教大学中国言語文化研究会、2001年7月、1-22頁、ISSN 1346-6305、CRID 1050287838661758848。
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^ a b c d e f g h i j k l m n o この説は古代ギリシャ末期のプロクロスによるユークリッド原論の注釈集の冒頭にあるが、近年では批判もある。一松信、『現代に活かす初等幾何入門』、岩波書店、〈岩波講座 応用数学〉、2003年、第1章。ISBN 4-00-005454-6
^ 邦訳は「中村 幸四郎・寺阪 英孝・伊東 俊太郎・池田 美恵訳・解説、『[1]ユークリッド原論 追補版』、共立出版、2011年。ISBN 978-4-320-01965-2」など。
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^ D・ヒルベルト著、中村幸四郎訳、『幾何学基礎論』、筑摩書房、〈ちくま学芸文庫 Math&Science 〉、2005年。ISBN 978-4-480-08953-3
^ 小平邦彦著、上野健爾解説、『幾何への誘い』、岩波書店、〈岩波現代文庫〉、2000年。ISBN 4-00-600007-3 C0141
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^ TANAAKK. “幾何学の分類 – TANAAKK”. 2025年10月18日閲覧。
関連項目
哲学
ギリシア哲学
古代エジプト哲学
古代ギリシア
古代エジプト
数学
測量
幾何学構成的絵画
幾何学模様
人工知能[1]
外部リンク
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ポータル 数学
Geometric ArtsAesthetic Geometry Site
Weisstein, Eric W. “Geometry”. mathworld.wolfram.com (英語).
Geometry – PlanetMath.（英語）
“Geometry”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
『幾何学』 – コトバンク
表話編歴
数学
表話編歴
幾何学の主要なトピックス
典拠管理データベース ウィキデータを編集
^ “AlphaGeometry, a System That Nears Expert Proficiency in Proving Complex Geometry Theorems” (英語). AlphaGeometry, a System That Nears Expert Proficiency in Proving Complex Geometry Theorems (2024年1月24日). 2024年1月26日閲覧。
カテゴリ: 幾何学数学に関する記事最終更新 2025年10月18日 (土) 07:45 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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『AI による概要
射影という考え方は、幾何学の統一的な理解を可能にし、新しい数学分野の創設につながったという歴史的に重要な役割を果たしました。
特に、消失点という「無限遠点」の概念を導入したことで、ユークリッド幾何学とは異なる視点を提供しました。
主な役割は以下の通りです。
透視図法から射影幾何学へ:
ルネサンス期の芸術家や建築家による遠近法（透視図法）の研究が、射影の数学的な探求の出発点となりました。
画家たちは、奥行きのある現実的な絵画を描くために、空間内の物体が平面のキャンバスにどのように映るかを経験的に研究し、消失点の概念を発見しました。
17世紀にジェラール・デザルグらがこの芸術的な技法を理論的な幾何学へと発展させ、射影幾何学が誕生しました。
この幾何学では、長さや角度ではなく、図形の接続関係（例えば、直線上の点の位置関係や交わり）に焦点が当てられました。「無限遠」の数学的導入:
平行な線路が遠くで一点（消失点）に集まって見える現象を数学的に説明するため、「無限遠点」や「無限遠直線」という概念が導入されました。
これにより、通常のユークリッド平面を拡張した「射影平面」という新しい空間が定義され、平行線も無限遠点で交わるとして扱えるようになり、幾何学の記述がより統一的かつ簡潔になりました。
幾何学の一般化と統一:
射影幾何学は、従来のユークリッド幾何学をより広い視点から捉え直すことを可能にしました。
アイザック・ニュートンは、射影の考え方を用いて様々な3次曲線を統一的に分類しました。
解析幾何学（座標幾何学）の手法も取り入れられることで、双対性といった強力な概念が生まれ、数学全体の発展に大きく寄与しました。
このように、射影という考え方は、視覚芸術の実践的な探求から始まり、ユークリッド幾何学の枠を超えた新しい幾何学の体系を築き、現代数学においても重要な役割を果たす基礎概念となりました。
Geometry: A History From Practice to Abstraction | NRICH
2011/01/31 — In 1639, Girard Desargues (1591-1661) wrote his gr…NRICH
射影幾何の考えかた – 東京大学
2023/10/08 — * 午後の講演では射影幾何と呼ばれる、これまでに習った平面幾何（ユークリッド幾何） とは性質の異なる…Graduate School of Mathematical Sciences
Projection (mathematics) – Wikipedia
The concept of projection in mathematics is a very old one, …Wikipedia
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『AI による概要
掃き出し法とは、連立一次方程式を解くための系統的な方法で、拡大係数行列（連立方程式をまとめて1つの行列にしたもの）に行基本変形を繰り返し適用して解を求める手法です。
この方法により、変数の数が増えても効率的に解を求めることができ、さらに逆行列を求めたりすることも可能です。
特徴
拡大係数行列を使用する: 連立方程式を拡大係数行列という形にまとめます。
行基本変形を適用する: 以下の3つの操作を繰り返し行い、行列を簡約化していきます。
ある行に、他の行の何倍かを加える（引く）。
ある行に0でない数をかける（割る）。
解を求める: 最終的に行列を「行標準形」と呼ばれる形に変形することで、連立方程式の解を読み取ります。手順が定まっている: 従来のような式を変形する感覚的な判断ではなく、決まった手順で計算できるため、複雑な方程式でも効率的に解くことができます。
利点
変数の数が増えても計算を系統的に行えるため、効率的に解を求めることができます。
連立方程式の解を求めるだけでなく、行列の逆行列を求めることにも応用できます。
計算手順が明確なため、誰が計算しても同じ結果が得られます。
21:46
線形代数②(掃き出し法)連立方程式は考えて解くな！【大学 …YouTube·10分で単位が取れる、理系科目のサクっと講義
掃き出し法 – Kanazawa Institute of Technology
2022/06/23 — 連立1次方程式の解の求め方に消去法がある． この消去法を拡大係数行列を用いて計算する方法を掃き出し法…KIT 金沢工業大学
掃き出し法を用いた逆行列の求め方を例題で解説 – AVILEN
2024/04/29 — 掃き出し法とは 掃き出し法とは、以下のように説明できます。 … 行列Aの右隣に単位行列Iをつけ、…AVILEN
掃き出し法による連立一次方程式の解き方 | 問題と解説
掃き出し法 とは 拡大係数行列 を利用して連立一次方程式を解く手法です。光学技術の基礎用語
掃き出し法 – Kanazawa Institute of Technology
2022/06/23 — 連立1次方程式の解の求め方に消去法がある． この消去法を拡大係数行列を用いて計算する方法を掃き出し法…KIT 金沢工業大学
掃き出し法・ガウスの消去法（連立1次方程式の解法） – ワイズ
2023/04/10 — ゆえに と の解集合もまた一致するため、 を解く代わりに を解くことができます。 は行標準形であるた…wiis.info
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脳は「9歳・32歳・66歳・83歳」で配線パターンが大きく切り替わる
https://nazology.kusuguru.co.jp/archives/188534
『2025.11.26 21:30:20 Wednesday
イギリスのケンブリッジ大学（University of Cambridge）の研究によって、人の脳の配線は生涯で4回、具体的には9歳、32歳、66歳、83歳付近で大きく変わることが明らかになりました。
研究ではこれらの節目を境に「子ども期」「思春期」「安定した大人期」「前期老化」「後期老化」という脳の「5つの時代」が区別できると述べられています。
特に32歳は、生涯でいちばん大きな曲がり角であり、（比喩的に言えば）「脳の思春期モード」がここまで続いている可能性が示されました。
この発見は、学習能力や精神的な健康、あるいは認知症のリスクといった問題を理解する新たな手がかりになりそうです。
なぜ脳はこれら4つの年齢で特に大きな変化を見せるのでしょうか？
研究内容の詳細は2025年11月25日に『Nature Communications』にて発表されました。
Topological turning points across the human lifespan
https://doi.org/10.1038/s41467-025-65974-8
川勝康弘
川勝康弘Yasuhiro Kawakatsuナゾロジー副編集長。 大学で研究生活を送ること10年と少し。 小説家としての活動履歴あり。 専門は生物学ですが、量子力学・社会学・医学・薬学なども担当します。 日々の記事作成は可能な限り、一次資料たる論文を元にするよう心がけています。 夢は最新科学をまとめて小学生用に本にすること。
ナゾロジー 編集部
ナゾロジー 編集部Nazology Editor目次
私たちはいつ「本当の大人の脳」になるのか？
「9歳、32歳、66歳、83歳」──脳が静かに線路を切り替える年齢
脳には5つの時代がある？ 子ども・思春期・大人・前期老化・後期老化
私たちはいつ「本当の大人の脳」になるのか？
私たちはふと、「自分はいつ、本当に大人になったのだろう」と考えることがあります。
成人式を迎えた20歳でしょうか。
それとも就職したときや、結婚して親になったときでしょうか。
あるいは、「最近ちょっと物忘れが増えたな」と感じたときに、「老化」が急に現実味を帯びてくることもあるかもしれません。
私たちは年齢を重ねるごとに様々な節目を経験しますが、その裏側で脳の中身がどんなふうに変わっているのかを考える機会はあまり多くありません。
実は脳というのは、人生を通じてずっと同じ状態ではなく、常にその姿を変え続けています。
なかでも注目されているのが「白質（はくしつ）」という部分です。
白質とは脳の中で神経細胞どうしをつなぐ「線の束」のような役割を持っています。
情報がスムーズに伝わるためには、この白質の量や質がとても大切です。
これまでの研究から、脳の白質は成長とともに徐々に整っていき、だいたい30歳前後でピークを迎えることが知られています。
この時期を過ぎると、白質の状態はゆっくりと衰え始めるというデータもあります。
つまり脳はある年齢を境に、成長期から安定期へと変化している可能性が示されていたのです。
ところが、これまでの研究は「子どもだけ」「お年寄りだけ」といったように、それぞれの年代をバラバラに調べることが多くありました。
脳が0歳から90歳までずっと連続的に変わるということはわかっていても、「人生の中で、いつ脳の配線が特に大きく変わるのか？」という疑問に、明確な答えはまだ出ていませんでした。
そこで今回の研究チームは、これまでにない壮大な試みに挑戦しました。
0歳から90歳まで幅広い年齢層の大量の脳画像を集め、脳の配線の変化を一気に分析したのです。
研究チームが知りたかったのは、「人生のどの時期に配線が特に大きく変化するのか」ということでした。
具体的に言えば、「変化が激しく起こる年齢」と、「比較的安定している年齢」を特定することが狙いです。
もし、この「脳配線の大きな変化のタイミング」がはっきりと分かれば、いろいろな可能性が見えてきます。
たとえば発達障害や精神疾患、認知症などの研究にとって、そのような配線が変化しやすい時期や安定している時期がわかれば、病気の予防や検査方法の開発、支援のタイミングを考えるための手がかりにもなりうるでしょう。
』『「9歳、32歳、66歳、83歳」──脳が静かに線路を切り替える年齢
/ Fig.6c は、「脳配線の一生」を一本の道として描き、その道の途中にある4つの曲がり角がどれくらい“強いカーブ”なのかをまとめて見せている図です。
3次元の空間の中に、年齢とともに変化する脳ネットワークの状態が線のように伸びていて、その線上に9歳・32歳・66歳・83歳の位置に黒い球が置かれています。
これが4つの転換点で、「ここで脳の配線パターンの進む向きが変わっている」という印です。
その横には、それぞれの転換点ごとに小さな表が並んでいて、「Direction」はどれだけ多くの指標で“増える→減る”のように関係の向きがひっくり返ったか、「PCA」はまとめて見たときに前後の時代の平均的な配線パターンがどれくらい違うか、「Trajectory」は曲線の形そのものが前の時代と次の時代でどれくらい違うかを示しています。
数字が大きいところ、★印が多いところほど「ここは本当に大きな曲がり角ですよ」という意味で、図全体を見ると32歳のところが3つの指標すべてで特に大きく、9歳と66歳は性質の異なる中くらいのカーブ、83歳は比較的おだやかなカーブとして描かれています。
つまりFig.6cは、「脳の配線の旅路には4つの節目があるが、その中でも32歳がいちばん強く進路を変えるポイントだ」ということを、ひと目で分かるように整理した“まとめ図”になっています。
83 歳あたりは「勾配（曲がり方）」は確かに鋭いですが、 複数の指標をまとめて見ると、ネットワーク全体の路線変更としては32歳がもっとも大きくなっています。
/Credit:Topological turning points across the human lifespan脳の成長を考えるとき、「子供時代」「大人時代」「老人時代」のような呼び方をよく使います。
しかし実際の脳の中では、そのような時代ごとの明確な違いが本当に存在するのでしょうか？
今回の研究チームはこの疑問を解明するため、まず脳の画像データを大量に集めるところからスタートしました。
具体的には、0歳から90歳まで幅広い年代をカバーした、合計4,216人分の脳画像を用意しています。
その中から、健康で特に問題のない約3,800人を選び出し、解析を行いました。
では、実際にはどんなふうに解析するのでしょうか。
脳というのは、たくさんの「場所（領域）」に分かれていて、それぞれが情報をやりとりしています。
今回の研究では脳全体を90の領域に区切り、それぞれの領域が他の領域と「どのくらいつながっているか」を詳しく数値で測りました。
イメージとしては、町全体を90個の地区に分けて、それぞれの地区同士を結ぶ道路がどれだけ太く、どれだけ数が多いかを調べたような感じです。
すると、非常に面白いことが分かりました。
脳の配線の状態は年齢ごとに一定のリズムを刻んでいるわけではなく、ある特定の年齢で特に大きな変化が起こっていたのです。
それが9歳、32歳、66歳、83歳という4つの年齢でした。
研究者たちはこれらの年齢を「脳の転換点」と呼んでいます。
これらの転換点を区切りとして、脳は生涯にわたり5つの異なる「配線の時代」をたどっていることが分かりました。
まず、0歳から9歳頃までは「子ども脳の時代」です。
この時期の脳は、とにかくあらゆる領域が数多くの回線でつながっています。
そのおかげで多くのことを一度に覚えるための土台が整っていると考えられますが、反面、配線が複雑すぎて効率が良いとは言えません。
実際、この9歳前後という時期は、脳の認知能力が急激に伸びる一方で、精神的にも揺れ動きやすく、精神疾患のリスクが高まることが別の研究で報告されています。
9歳を過ぎると、「長い思春期モード」の時代が訪れます。
この時期には、複雑すぎる脳の配線を少しずつ整理していきます。
先にも少し触れましたが、イメージとしては、曲がりくねって絡まり合った道路網が、直線的で無駄のない高速道路へと整備されるような感じです。
この整備によって、情報の流れが非常にスムーズになり、脳のネットワーク全体の効率が30歳前後でピークを迎えます。
この研究のデータでは、脳のネットワーク効率が明確に向上し続けるのはこの時代だけであることが確認されています。
研究者たちは特にこの32歳という年齢を「生涯で最大の転換点」と位置づけています。
32歳を境に、効率アップ期間が終わり、以降は“分業化と安定”が進む時期になるからです。
論文ではこの点について「このネットワークの安定期は、知能と人格のプラトーとも重なる」と述べています。
つまり個人レベルでは、だいたい30代前半までが“脳の配線を大きく作り替える余地が一番大きい時期”で、その後は“今ある配線を維持・微調整しながら使っていく時期”に入るわけです。
あるいは、これまでの工事で作ってきた“自分仕様の配線”を、これ以上大きく組み替えずに長く使っていくフェーズへの切り替え点とも言えるでしょう。
実際、32歳を超えた「安定した大人期」の32〜66歳では、配線の転換点のような大きな変化はあまり起こりません。
もちろん、全く変化しないわけではなく、思春期よりは緩やかな変化が続いています。
ただ脳のネットワークの中で「どの場所が特に重要か」を示す「中心性」と呼ばれる指標は、この時期には他の時期ほど大きくは変動しません。
この時期の脳は新しい道路を増やすより、既存の道を補修しつつうまく管理していく、そんなイメージが近いでしょう。
そして66歳を過ぎると、脳は再び変化の時代、「前期老化モード」に入ります。
この段階では、脳内の「地区」はいくつかの「島」に分かれ、それぞれの島が独立して動くような構造になります。
こうした「島構造」が進むことで、脳の情報のやり取りは島の内部で閉じたものとなり、全体的な連携が減っていきます。
最後の83歳以降の「後期老化モード」では、この傾向がさらに強まっていると考えられます。
脳全体のつながりは弱くなり、一部の重要な場所（ハブ）だけが特に強く機能するようになる「ローカル依存」の状態に近づきます。
昔は街中に張り巡らされたたくさんの道が、やがて数少ない主要な交差点を中心に運営されるようになる感じと言えるでしょう。』
『脳には5つの時代がある？ 子ども・思春期・大人・前期老化・後期老化
脳には5つの時代がある？ 子ども・思春期・大人・前期老化・後期老化 / Credit:Canva
今回の発見により、脳の構造発達は滑らかな連続ではなく、いくつかの大きな転換点によって特徴付けられることが示されました。
これは、いつそしてどのように脳の配線が脆弱になりやすい可能性があるかを考える新たな視点を提供します。
人の脳は一生変わり続けますが、その変化はただの“なだらかな老化”ではなく、9・32・66・83歳という4つの大きなカーブを曲がりながら、5つの時代を旅しているようだ、ということです。
社会的な意味を考えると、この「脳配線の人生地図」はいくつかのポイントで役立ちそうです。
たとえば、9歳前後は、脳が子どもモードから思春期モードへ切り替わるタイミングであり、学習のつまずきやメンタルの揺れが見えやすくなる時期と重なります。
32歳前後は、効率を高め続けてきた配線が安定期に入るタイミングで、長期的なキャリアやライフスタイルを考える上で一つの節目ととらえることもできます。
66歳・83歳以降については、とくに66歳前後が認知症リスクが高まる年齢と配線の再編が重なる可能性が指摘されており、83歳以降の転換点も後期高齢期の変化として今後の研究が必要とされています。
研究者たちは「脳の構造的な旅路が単調な連続ではなく、いくつかの大きな転換点から成ると理解することで、配線がいつ・どのように乱れやすいかを見極める助けになる」と述べています。
もちろん、本研究は統計的な対応関係を明らかにしたに過ぎず、脳がなぜその年齢で変わるのかといった生物学的な原因や関連遺伝子までは解明していません。
それでも、年齢の異なる大量の脳データを横断的に解析し、生涯スケールでの脳ネットワークの変遷を浮き彫りにした意義は大きいでしょう。
人の脳は人生に4度の“生まれ変わり”を遂げる——この視点は、人間の脳が私たちの想像以上にダイナミックな存在であることを教えてくれます。』
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『【15万部突破のベストセラー！！】
【いま一番売れてる「行動経済学」 の本！！】ビジネスパーソンにとって、
行動経済学ほど「イケてる学問」はない。現に世界のビジネス界では、
その影響力はますます強まっている。いま世界の名だたるトップ企業の間で、
「行動経済学を学んだ人材」の争奪戦が、
頻繁に繰り広げられている。
１人の人材獲得に何千万円もの資金が動き、
企業には「行動経済学チーム」までできている。ビジネス界の要請を受けた世界のトップ大学が、
次々と「行動経済学部」を新設し始めている。
MBAのように、多くのビジネスパーソンが
行動経済学を学びに集まっている。もはや行動経済学は、
「ビジネスパーソンが最も身につけるべき教養」
となっているのだ。しかし、行動経済学は新しい学問であるが故に、
これまで体系化されてこなかった。
理論を一つ一つ丸暗記するしかなく、
なかなか「本質」がつかめなかった。そこで本書では、基礎知識をおさえた上で、
「ナッジ理論」「システム１vsシステム２」
「プロスペクト理論」から、
「身体的認知」「アフェクト」「不確実性理論」
「パワー・オブ・ビコーズ」まで、
「主要理論」を初めて体系化するという、
これまでにない手法で、行動経済学を解説する。【目次】
■プロローグ いま世界のビジネスエリートがこぞって学ぶのが「行動経済学」
■ 序 章 本書といわゆる「行動経済学入門」の違い
■ 第１章 認知のクセ――脳の「認知のクセ」が人の意思決定に影響する
■ 第２章 状況――置かれた「状況」が人の意思決定に影響する
■ 第３章 感情――その時の「感情」が人の意思決定に影響する
■エピローグ あなたの「日常を取り巻く」行動経済学 』 -
『AI による概要
認知バイアスは人間の意思決定における体系的なエラーであり、他人の心理に影響を与えるために悪用される可能性があります。
しかし、倫理的かつ法的な理由から、認知バイアスを使用して他人を操作または悪用する方法についての具体的な指示を提供することはできません。
情報提供として、一般的な操作戦術で利用されるいくつかの主要な認知バイアスとその応用例を以下に示します。
アンカリング効果: 人々は意思決定を下す際に、最初に提示された情報（アンカー）に過度に依存する傾向があります。
たとえば、交渉で非常に高い初期価格を提示することは、最終価格の認識に影響を与える可能性があります。権威バイアス: 人々は、権威ある人物の意見や指示を信頼し、従う傾向があります。
これは、専門家や有名人の推薦を利用したマーケティングでよく見られます。希少性の原則: 入手困難なアイテムや機会は、より魅力的であると認識されます。
「期間限定」や「在庫限り」といった表現は、人々の購入意欲を刺激します。フレーミング効果: 情報の提示方法によって、人々の選択が変化する現象です。
たとえば、製品の有効性を「90％成功」と表現するのと、「10％失敗」と表現するのとでは、受け取られ方が異なります。これらのバイアスは、説得力のあるコミュニケーション、教育、および合法的なビジネス戦略において、誠実かつ透明な方法で使用されるべきです。
重要な注意点:
他者を欺いたり、不当に操作したりすることは、倫理的に問題があり、多くの場合、法的な結果を伴う可能性があります。
認知バイアスに関する知識は、悪用するのではなく、自分自身の意思決定を改善し、他人の説得の試みをより批判的に評価するために利用することをお勧めします。認知バイアスとは？種類とビジネスでの活用方法
2025/03/06 — 認知バイアスは、意思決定を簡素化するために人間が使用するメンタルショートカットから生じます。 これら…Shopify
バイアスの種類とビジネスへの影響を徹底解説 – 顧問のチカラ顧問のチカラ
2024/11/23 — このような思考は、自分の成長を妨げ、他者との関係にも悪影響を及ぼすことがあります。 また、バンドワゴ…KENJINS
コンバージョンの最適化に活用できる、18の認知バイアス
2020/10/27 — 1.アンカリング 判断を下すさい、「アンカー」、つまり、一つの特徴や情報の一片に過度に依存してしまう…DLPO株式会社
すべて表示
AI モードでさらに詳しく 』 -
認知バイアスまとめ（再掲）
https://http476386114.com/?s=%E8%AA%8D%E7%9F%A5%E3%83%90%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%82%B9『3月 21, 2025
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精神、心理、関連
【社会心理学】認知バイアスまとめ
https://lp.self-sufficiency.jp/cognitive-bias/『社会心理学は、社会環境の中におかれた個人の経験や行動を分析研究する学問です。
個人の行動は「ヒューリスティック」という経験則によって説明され、その中でも非合理的な判断をもたらすものが「認知バイアス」です。
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目次
ヒューリスティック
アンカリング
認知バイアス
正常性バイアス
自己奉仕バイアス
後知恵バイアス
一貫性バイアス
楽観バイアス＆計画錯誤
錯誤相関
連言錯誤（合接の誤謬）
透明性錯誤
コンコルド効果
ツァイガルニク効果
バーナム効果
ダニング=クルーガー効果
集団の認知バイアス
内集団バイアス＆外集団同質性バイアス
行動経済学最後に
過去問
第１回 問13
次の記事ヒューリスティック
ヒューリスティックとは難しい問題を、カンタンな問題に置き換えて考える思考プロセスです。・利用可能性ヒューリスティック
・代表性ヒューリスティック
・係留と調整ヒューリスティック（アンカリング）ステレオタイプ的な事柄を過大評価して考えるのが代表性ヒューリスティックです。
アンカリング
アンカリング（係留）効果は、先行提示された情報（アンカー）によって、後続提示された情報の判断が歪められる現象です。例えば、同じ商品でも定価1,000円が500円になっているときと、初めから500円で売られているときとでは、前者の方がお買い得に思えて買いたくなりますね。
認知バイアス
認知バイアスとは、ヒューリスティックによって非合理的な判断をしてしまう心理現象です。以下のような様々な認知バイアスがあります。
・対応バイアス（基本的帰属錯誤、基本的な帰属の誤り）
・行為者‐観察者バイアス
・確証バイアス
・自己中心性バイアス
・正常性バイアス
・自己奉仕バイアス
・後知恵バイアス
・楽観バイアス
・ハロー効果
・フレーミング効果
・バンドワゴン効果
・コンコルド効果
・ツァイガルニク効果
・バーナム効果
・ダニング=クルーガー効果
・錯誤相関
・連言錯誤（合接の誤謬）
・透明性錯誤
・計画錯誤正常性バイアス
正常性バイアスは、自分にとって都合の悪い情報を無視したり過小評価したりする傾向のことです。
例えば豪雨で避難勧告がでたのに、まだ大丈夫と避難しなかったり・・・。
自己奉仕バイアス
自己奉仕バイアスとは、成功したときは自分自身の能力によるものであり、失敗したときは自分ではどうしようもない外的な要因によるものだと思いこむ考え方です。
例えば、試験の点数が良かったときは「自分が努力したから」と考え、点数が悪かったときは「風邪を引いていたから」と考えるようなことです。
後知恵バイアス
後知恵バイアスは、物事が起きたあとで「そうだと思った」などと、そのことが予測可能だったと考える心理的傾向のことです。
試験の結果が出た後ならなんとでも言えますよねー
一貫性バイアス
一貫性バイアスとは、他人の過去の態度や行動が現在もほぼ変わらず近い状態であると思い込むことです。
つまり、ある人物の態度やスタンスが、将来においても一貫性があり不変だと思ってしまうことです。
高校時代の友人が、数十年ぶりに会って性格が大きく変わっていることに驚くことがありますが、これは一貫性バイアスにより他人は変わらないものと思い込んでいるからです。
この世に変わらないものなんてありません。楽観バイアス＆計画錯誤
楽観バイアスは、自分自身の行動や能力などを実情よりも楽観的にとらえ、危険や脅威などを軽視する心的傾向です。
この楽観バイアスによって計画錯誤が起こります。
これは、過去に計画どおりに進まずに失敗した経験が繰り返しあったとしても、新たな計画を立てる際に楽観的な予測をする傾向のことです。
錯誤相関
錯誤相関は、関係のない事象に関係があると思い込んでしまうことです。
例えば、満月の夜には不吉なことが起こるとか、茶柱が立つと良いことが起こるとか、晴れ男とか・・・全て錯誤相関です。
似たようなワードに「疑似相関」がありますが、これは2つの事象に因果関係がないのに、見えない要因（潜伏変数）によって因果関係があるかのようにみえることです。
つまり錯誤相関は相関がない、疑似相関は間接的な相関というイメージです。
錯誤相関と疑似相関は全く違いますので注意しましょう。
連言錯誤（合接の誤謬）
連言錯誤（合接の誤謬）とは、一般的に起こる状況よりももっともらしく思える限定された状況の方が事実らしいと勘違いすることです。
例えば、コンビニで万引きが発生した場合、以下のどちらが確率が高いでしょうか。
①高校生
②近所の高校の不良グループなんとなく②のほうがもっともらしいと考えがちですが、確率が高いのは明らかに①です。
①には②も含んでいますから。この現象は、代表制ヒューリスティックによって、万引きする人のイメージ（ステレオタイプ）と合っている方を選ぶことによって、このような連言錯誤が起こります。
透明性錯誤
透明性錯誤は、「自分の内面を他人に読まれている」という錯覚のことです。
コンコルド効果
コンコルド効果とは、それまで行った投資を惜しんで今後も損失が出るのに投資をやめられないことです。
パチンコをやった人は分かると思いますが、1万円使って当たらなければ、ここまで１万円つぎ込んだんだから続けないともったいないと考えどんどん損失が膨らんでいく経験があると思います。
コンコルド効果という名称は、イギリスとフランスで共同開発が進められた超音波旅客機コンコルドから来ています。
コンコルドは赤字になると見込まれていたにもかかわらず開発が進められ商業的にも成功する見込みのないまま2000年まで運航は継続されました。
開発会社は倒産しました・・・。
皆さんも、ギャンブルをやるときは「ここまで投資したのだからここでやめるともったいない」という思考を捨てましょう。相手の思うつぼです。
ツァイガルニク効果
ツァイガルニク効果は、成功より失敗のほうが記憶に強く残る現象です。
国家試験に合格したらすぐ忘れますが、不合格だったらずーと残ります。
つまり、完成されたものよりも途中で終わったものの方が、強く印象に残るということですね。
テレビCMなどで、「続きはウェブで」と言われたら気になって覚えているということがありますね。
必要な情報を全て盛り込まないことがコツなんですね。
バーナム効果
バーナム効果は、誰にでも当てはまるような曖昧で一般的な内容を、自分に当てはまると捉えてしまう現象です。
占いがいい例ですね。ナムナムと占うで覚えましょう。
ダニング=クルーガー効果
ダニング=クルーガー効果とは、自分のことを過大評価してしまうことです。
うぬぼれですね。
集団の認知バイアス
・社会的手抜き
・社会的促進
・内集団バイアス
・外集団同質性バイアス
・コーシャスシフト
・リスキーシフト
・傍観者効果内集団バイアス＆外集団同質性バイアス
内集団バイアスとは、自分の属している集団は他に比べて優れていると思い込む現象です。
自分と同じ会社の人だから優秀だなどと思ってしまうことです。
外集団同質性バイアスは、自分が所属していない集団や組織を多様性が少ないと認識し、ひとまとめにして捉える傾向です。
例えば日本人男性の高齢者がいた場合に、自分の所属しない外の集団に対して「アメリカ人は…」「最近の若者は…」「女ってやつは…」などとステレオタイプに外集団を捉えがちです。
行動経済学
社会心理学は人の「心」を知ろうとする学問でしたが、それをさらに発展させ意思決定の仕組みを分析するのが「行動経済学」です。
例えば、人間の損失回避性を謳ったプロスペクト理論などが有名ですが、認知バイアスやヒューリスティックで出てきた様々なキーワードは、行動経済学の分野でも重要です。
行動経済学
最後に
このような様々な認知バイアスに気付くことは容易ではありませんが、メタ認知を鍛えれば対応することができます。
そのためにマインドフルネスなどが有効ですね。
過去問
第１回 問13
社会的認知のバイアスについて、正しいものを１つ選べ。
① 他者の内面を実際以上に理解していると誤解することを透明性の錯覚＜透明性錯誤＞という。
② 集団の違いと行動傾向との間に、実際にはない関係があると捉えてしまうことを疑似相関という。
③ 観察者が状況要因を十分に考慮せず、行為者の内的特性を重視する傾向を行為者 − 観察者バイアスという。
④ 自分の成功については内的要因を、自分の失敗については外的要因を重視する傾向を確証バイアスという。
⑤ 人物のある側面を望ましいと判断すると、他の側面も望ましいと判断する傾向を光背効果＜ハロー効果＞という。① 他者の内面を実際以上に理解していると誤解することを透明性の錯覚＜透明性錯誤＞という。
間違いです。透明性錯誤は「自分の内面を他人に読まれている」という錯覚のことです。
② 集団の違いと行動傾向との間に、実際にはない関係があると捉えてしまうことを疑似相関という。
間違いです。これは錯誤相関の内容です。
疑似相関は実際にはない関係があると捉えてしまうことですが、「集団の違いと行動傾向の間に」ではありません。③ 観察者が状況要因を十分に考慮せず、行為者の内的特性を重視する傾向を行為者 − 観察者バイアスという。
間違いです。行為者－観察者バイアスは、自分が行為者であった時の成功や失敗を外的要因に、自分が観察者であった時の成功や失敗を内的要因に帰属させやすいことです。
他人が試験に落ちたのは努力が足りなかったから、自分が試験に落ちたのは周囲の環境が悪かったからというように。④ 自分の成功については内的要因を、自分の失敗については外的要因を重視する傾向を確証バイアスという。
間違いです。これは自己奉仕バイアスの説明です。確証バイアスは、自分の意見が正しいことを証明する際に自分の意見が正しい証拠ばかりに着目し、自分の意見に反することには着目しない傾向です。⑤ 人物のある側面を望ましいと判断すると、他の側面も望ましいと判断する傾向を光背効果＜ハロー効果＞という。
これが正解です。』』
ジジイがあれこれ考えた 
