※ εδ論法とは、「後出しジャンケンである！」…。
「限りなく」という表現のとらえ方が人によって違うことを認め、相手に「先に、提示させ」、「～の時に、その値になる」を示し、次々にそのことを「証明」していく…。
そういう「構造」の「論法」なんだな…。
そういう「納得させる」「構造」こそが、この「論法」の本質である…、というわけだ。
なるほど、よくわかった。納得した…。
カテゴリー: 数学、関連
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『＜紹介文＞
中学校や高校の授業で学ぶことは「実生活では役に立たない知識」と誤解されがちです。しかし，実際には私たちの暮らしのあちこちで役に立っています。
たとえば，「数列」の知識は最新のビデオゲームなどにも活用されていますし，「指数・対数」や「微分積分」で自然界の現象を把握することができます。
「三角関数」は土地の傾きや距離をはかることだけでなく，家電製品にも応用されているのです。
本書は，中学・高校で学ぶ数学の単元をやさしく解説するだけでなく，それらの知識からさらに一歩踏みだし，ビジネスや日常生活に数学が活用されるようすや，奥深い魅力も紹介しています。
かつて学んだ人だけでく，これから学ぶ人にも，数学を「面白い！」と感じてもらえるはずです。ぜひお楽しみください。＜目次＞
1 「数」と「数列」を使いこなそう
社会を支える数学
正と負の数
有理数と無理数
column 1 自然数も実数も無限個ある。では，どちらのほうが多い？
虚数
column 2 負の数の登場は数学界で驚異的な出来事だった
column 3 コピー用紙には2と3がかくれている
数列
column 4 かけ算の可視化
ベクトル
ベクトルと行列
column 5 割り算と歯車
第1章 公式集2 「図形」で空間を把握しよう
点・線・角
基本作図
三角形と四角形
column 6 円と直角三角形の不思議な関係
column 7 円の中心を探せ！
相似
column 8 「相似」で考える星の明るさ
column 9 プラトンと正多面体
第2章 公式集3 「関数」で見えないものを予測しよう
関数
指数関数
指数関数の威力
指数と対数の関係
対数関数
身近な対数
対数グラフ
三角関数 ①〜②
column 10 三角関数の起源
ソーラーパネルと三角関数
ピザを6等分にする三角比
第3章 公式集4 「微分積分」でものごとの変化を測定しよう
微分
微分の本質
積分
積分と体積
微分積分学の基本定理
微分方程式
column 11 アルキメデスの取り尽くし法
column 12 無限に小さな部分を足すという積分のアイデア
column 13 ヒーターの温度調節に微分積分を活用
第4章 公式集5 「確率と統計」でものごとの法則性をみつけよう
確率とは何か
期待値
大数の法則
ギャンブルの確率
条件付き確率
オオカミ少年
統計学とは何か
分散と標準偏差
正規分布
column 14 健康診断の基準値と正規分布
相関
相関係数
回帰分析
天気予報の確率
場合の数
コイン投げ
第5章 公式集6 社会で役立つ中高の数学
利益の比較
新製品の利益予測
利益目標から定価を設定
数に強くなる
実感できる数にする
補償額を計算する
斜めの土地をはかる
建物の傾き
column 15 最新のVRゲームが楽しめるのも三角関数のおかげ
データのグループ分け
分散投資と数学Topics 数列』
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幾何学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
『出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
18世紀の百科事典の幾何学図形の表。
最先端の物理学でも用いられるカラビ-ヤウ多様体の一種。現代幾何学では図も描けないような抽象的な分野も存在する。
20世紀における初等幾何学の授業風景。
幾何学（きかがく、英語: Geometry、ジオメトリー、古代ギリシア語: γεωμετρία、ゲオメトリア）は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である[1][2]。
もともと測量の必要上からエジプトで生まれたものだが、人間に認識できる図形に関する様々な性質を研究する数学の分野としてとくに古代ギリシアにて独自に発達し[3]、これらのおもな成果は紀元前300年ごろエウクレイデスによって『ユークリッド原論』にまとめられた[2]。
その後中世以降のヨーロッパでユークリッド幾何学を発端とする様々な幾何学が登場した[3]。
単に幾何学と言うと、ユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学をさすことが多く、一般にも馴染みが深いが[3]、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し[1]、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している[2][3]。
語源
クリストファー・クラヴィウスの門下生のイエズス会マテオ・リッチと中国明の徐光啓は、1607年に、クラヴィウスによる注釈付きのユークリッドの『原論』 (“Euclidis elementorum libri XV”) の前半6巻を『幾何原本』に翻訳した[4][5]。
また1680年頃にジョアシャン・ブーヴェとジャン＝フランソワ・ジェルビヨンはIgnace-Gaston Pardies（英語版）の”Elements de geometrie”を同様の名前の『幾何原本』に翻訳した[6]。
一般に「幾何学」という語は、マテオ・リッチによる geometria の中国語訳であるとされるが[7]、本文中では「幾何」は「量」という意味で使われている[4][8]。
また以前は geometria の冒頭の geo- を音訳したものであるという説が広く流布していたが、近年の研究により否定されている[8]。
「幾何」という漢字表記そのものは「幾らであるか」といった程度の意味であり九章算術や孫子算経には多くこの表現が見られる。
訳語としての「幾何」は元はアリストテレス哲学にでてくる10の範疇うちの一つ「量」の訳語であり、「幾何学」についてはmathemathicaの訳語であった。
このことはジュリオ・アレーニの『西学凡』の中で明文化されて説明されている[8][9]。この語がgeometryにのみ関連付けられる習慣が定着したのは19世紀半ば以降であると思われる[8]。
歴史
以下では様々な幾何学の発展とその概要を、歴史にのっとって時系列順に述べることとする。
起源
幾何学（ジオメトリー）の語源は「土地測量」であり[注釈 1]、起源は古代エジプトにまで遡ることができる[10]。
古代ギリシャの歴史家ヘロドトスの記録[10][11]では、エジプトでは毎年春になるとナイル川が氾濫し、エジプトの砂漠に農耕を可能にする河土を運んでくるが、去年の畑の境界線はすべて流れてしまう。
そのため、印をつけた縄でまっ平らになった土地を元どおり区割りする「縄張り師」と呼ばれた測量専門家集団が現れ、土地測量術が発達した。現在、ピタゴラスの定理として知られている数学定理が、古代エジプトではすでに5000年前に経験則として知られ、縄張り師たちは3:4:5の比率で印をつけた縄を張って、畑の角の直角を取ったという[3]。
直角二等辺三角形におけるピタゴラスの定理の適用。’”
UNIQ--postMath-00000001-QINU“‘である。直角二等辺三角形におけるピタゴラスの定理の適用。
1
2
+
12
2
{\displaystyle {\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}}である。古代から世界各地で知られていたピタゴラスの定理の証明の一種。下と右の正方形の面積の和は左の正方形の面積に等しい。
古代から世界各地で知られていたピタゴラスの定理の証明の一種。下と右の正方形の面積の和は左の正方形の面積に等しい。古代中国におけるピタゴラスの定理の証明。
古代中国におけるピタゴラスの定理の証明。古代バビロニアにおけるピタゴラスの定理。
古代バビロニアにおけるピタゴラスの定理。古代ギリシャの幾何学
幾何学が大きな進歩を遂げた最初は、他の数学の分野と同じように古代ギリシアにおいてであった。
初期のギリシャ幾何学
人物としては、タレス、ピタゴラスなどが有名である[10]。
タレスは三角形の合同を間接測量に応用し、ピタゴラスらはこれらを証明により厳密に基礎づけた[10]。
彼らはそこで多くの定理を発見し、幅広くそして深く図形を研究したが、特に注記すべきなのは、彼らが証明という全く新しい手法を発見したことである。
数学的意味での証明の誕生と原論の成立
パピルスに記録されたユークリッド原論の断片。
パピルスに記録されたユークリッド原論の断片。原論の著者とされるユークリッド。
原論の著者とされるユークリッド。とくにピタゴラスは後のギリシャ数学者達に影響を与え、ユークリッドもその一人であった[3]。
自明な少数の原理（公理など）から厳密に演繹を積み重ねて当たり前とは思えない事柄を示していくやり方は、ユークリッドの手により『原論[12]』において完成され、後の数学の手本となった。
ユークリッドの手により証明をもとに体系化されたギリシャ数学は、曖昧さが残るエジプトやバビロニアのものより圧倒的に優位であったといえる[3]。
曖昧な経験の集積ではなく、それらを体系化された理論にまとめあげ少数の事実から全てを演繹するという手法は長らく精密科学の雛型とされ[11]、後世ではニュートンの古典力学なども同様の手法で論じられている。
このような手法は古代ギリシャにのみ誕生したが、それは何故かという問題は科学史の重大な問題である[11]。
ユークリッド原論はB.C.300年ごろに出版され、全13巻からなり、幾何学以外にも量や数論なども記述があるが、これらも幾何学的に取り扱われた[10]。
また原論は幾何学のバイブルとしてその後2000年以上にも渡って愛読され続けた[3]。
後期のギリシャ幾何学
正五角形の古典的作図法。ユークリッド幾何学では定規は直線を引くためだけに用い、コンパスは紙から離したらすぐに閉じねばならない（何かの長さをコンパスでとり他の何かの長さと比較するなどして他の何かの長さを推察できない）という厳格なルールがある[13]。
正五角形の古典的作図法。ユークリッド幾何学では定規は直線を引くためだけに用い、コンパスは紙から離したらすぐに閉じねばならない（何かの長さをコンパスでとり他の何かの長さと比較するなどして他の何かの長さを推察できない）という厳格なルールがある[13]。円錐曲線論（ダンドラン球面）に関する図。
円錐曲線論（ダンドラン球面）に関する図。その後前三世紀ごろにペルガのアポロニウスによって円錐曲線論（コニカ）がまとめられ[14]、天文学の発達により前一、二世紀ごろに三角法も誕生した。
パップスは300年ごろに幾何学を中心とする古代ギリシャの数学の成果を「数学集成 (Synagoge)」にまとめあげた[10]。
とくにアポロニウスは初歩的な座標の概念をも導入し、二点からの距離の和・差・積・商が一定である曲線の集合を研究した[11]。
彼の円錐曲線の理論は、カッシーニの卵形線は17世紀に入ってから開拓されたものの他の分野のほぼ全てはアポロニウスの手によって研究された[11]。
ヨーロッパにおける幾何学
ヨーロッパでは長く、「幾何学的精神」という言葉が厳密さを重んじる数学の王道ともいうべきあり方とされた。
「幾何学的精神」という用語はパスカルによって導入された哲学用語であり、ユークリッド幾何学に見られるように、少数の公理形から全てを演繹するような合理的精神をさし、逆に全体から個々の原理を一挙に把握するという意味の「繊細の精神」の対義語として与えられた[15]。
また、エジプト王プトレマイオスが幾何学を学ぶのに簡単にすます道が無いかという問いに対しユークリッドはそんな方法はなく、「幾何学に王道無し」と言ったことからより一般に「学問に王道なし」との言葉も生まれた[16]。
ここで王道とは王のみが通れる近道の意である[16]。中世ヨーロッパのユークリッド幾何学
中世ヨーロッパでユークリッド幾何学が教えられている様子。
ヨーロッパにおいては19世紀初等までは、幾何学といえばユークリッド原論から発達した三次元以下の図形に関する数学をさしていた[10]。
ヨーロッパではルネッサンス以降はジェラルモ・カルダーノやルドヴィゴ・フェラーリに見られるように代数学が盛んであり、17世紀以降はニュートンやライプニッツらによって開かれた解析学も急激に発達したため、幾何学はこれらの分野とよく対比されることとなった[10]。
しかしルネサンス期においてはこれらに比べ幾何学の成果は乏しく[11]、当時の目立った成果を上げれば15世紀に透視図の考えを応用し射影幾何学の元となる概念が登場したり[11]、古代ギリシャでは砂に図を書いていたためか[11]運動はタブーであったが、14世紀ごろより図形を直接動かしてその変化考察するという後に解析学へと繋がる考え方も登場した[11]などが上げられる。
解析幾何学誕生
デカルトによって導入された座標平面。点と数の組が対応していることがわかる。
デカルトによって導入された座標平面。点と数の組が対応していることがわかる。デカルトの幾何学に関する著作のページ。
デカルトの幾何学に関する著作のページ。デカルト : 解析幾何学の礎となる直交座標の概念を導入。
デカルト : 解析幾何学の礎となる直交座標の概念を導入。オイラー : 解析幾何学を発展させるにとどまらず、業績は当時の数学とその関連分野全般に渡る。
オイラー : 解析幾何学を発展させるにとどまらず、業績は当時の数学とその関連分野全般に渡る。ユークリッド原論にも見られるように、数は図形として対応させて考えることもできる。
ルネ・デカルトはこの考えを拡張して直交座標系を導入し、解析幾何学を導入した[10][17]。
解析幾何学は平面や空間に座標を定めて数と図形との関係を与え、逆に数を幾何学的に扱うことをも可能とした[10]。それまでは幾何学的証明に限られた幾何学の問題を代数的に解くことも可能となったのである[10]。座標の概念はピエール・ド・フェルマーも研究していたが、欧米ではgéométrie cartésienne（デカルト幾何学、cartésienneは「デカルトの」の意）と呼ばれるようにデカルトの影響が極めて強い[11]。
例えば直交座標平面上の任意の点の原点からの距離はピタゴラスの定理によって与えられるが、これは解析幾何学においては公理である[18][19]。
解析幾何学はデカルトの哲学体系では数と図形の統一を目指したものであるが、アポロニウスの残した未解決問題、例えば三定点からの和が一定の曲線の研究なども目的とされていた[11]。
現代においてはコンピュータの画面表示などにも座標の概念が応用されている[11]。また、幾何学の問題は現代では線型代数学すら応用されて解かれることも多い[11]。
解析幾何学の方法はヨーロッパ数学において同時期に発達した代数学や解析学においても盛んに用いられ、とくに17世紀解析学の発達は解析幾何学抜きには語れないであろう[10]。
18世紀にはレオンハルト・オイラーによって解析幾何学は急激に発達させられその成果がまとめられた[20]。
オイラーの手によってアポロニウスによる古典的円錐曲線論は二次曲線や二次曲面論として解析幾何的手法を用いて代数的に書き換えられることとなった[10]。
トポロジー・グラフ理論の起源
→「一筆書き」も参照当時のケーニヒスベルクの橋の配置
またオイラーは当時のケーニヒスベルクの橋を、一度渡った橋は二度と渡らないで、全ての橋を一度だけ渡ることは可能であるか？という問題より、今日の位相幾何学やグラフ理論の起源となる概念が生まれた[11]。
微分幾何学の黎明
ガウスも当時の数学関連分野全般に業績があるが、幾何学においては微分幾何学や非ユークリッド幾何学の初歩概念等に業績がある。
とはいえ非ユークリッド幾何学については論争を恐れ公表しなかった。初歩的な微分幾何学では微積分が幾何学へ応用された。
さらに18世紀末には微積分や変分学といった解析学の成果も幾何学へ応用され、ガスパール・モンジュによる曲線と曲面の微分幾何学の開拓が行われた[10]。
19世紀初頭にはガウスによって曲面の曲率などが求められ、微分幾何学が本格的に研究された[10]。
総合幾何学、射影幾何学
射影幾何学で重要なデザルグの定理に関する図。
このようにデカルトによってその基礎を打ち立てられ、代数的・解析的に取り扱えるという強力な手法を提供した解析幾何学であるが、解析幾何学が幾何学研究において絶対的な方法であったかといえば必ずしもそうではなかった。
解析幾何学のように座標を導入せずに、ユークリッド幾何学のように直接図形を研究する手法も解析幾何学ほどはメジャーではなかったが行われていた。
このような手法を総合幾何学(synthetic geometry) 、あるいは純粋幾何学(pure geometry)という[10]。純粋幾何学における新概念は、遠近法を発端として17世紀にジラール・デザルグとブレーズ・パスカルらによって始められた射影幾何学が挙げられる。
18世紀にはモンジュ（図法幾何学で有名である）とポンスレらにより、射影幾何学は更に研究され、19世紀に入ってもシュタイナーは総合幾何学を重視している[10]。
20世紀に入っても総合幾何学を重視した者としてコクセターが挙げられる[21][22]。ほかにも、ラングレーの問題などは20世紀に入ってから出された問題である。非ユークリッド幾何学
→「平行線公準」も参照角αと角βの和が180度より小さければ、点線の方向に線を延長していくと二つの直線はいつか必ず交わるというのが平行線公理。
角αと角βの和が180度より小さければ、点線の方向に線を延長していくと二つの直線はいつか必ず交わるというのが平行線公理。ところが非ユークリッド幾何学では空間が曲がっているからそれは成り立たない。
ところが非ユークリッド幾何学では空間が曲がっているからそれは成り立たない。長らく原論の平行線公準は幾何学において問題となったが、この公理を他の公理から導出しようとする試みは全て頓挫した[10]。
もし平行線公理が公理でなければ、ほかの公理系から導出できるはずだと試みられて失敗したわけである。19世紀に入ってようやく、他の公理はそのままに平行線公理のみをその否定命題に置換してもユークリッド幾何学に似た幾何学が成立することがボーヤイ・ヤーノシュ、ニコライ・ロバチェフスキーらによって示され、非ユークリッド幾何学が誕生した[10]。
非ユークリッド幾何学の無矛盾性はユークリッド幾何学の無矛盾性に依存し、後者が無矛盾であれば前者も無矛盾であるとされ、両者の差異は単なる計量テンソルの違いに過ぎないことが明らかにされた[10]。
幾何学基礎論
幾何学基礎論を研究したヒルベルト。これ以外にも広い業績がある。
幾何学は人間の図形的直感に基づいて研究されるが、直感のみに基づいて研究するわけにはいかない。
そのためあいまいな直感ではなく明確に言葉や定義によって言い表された定義や公理に基づいて幾何学を体系化する試みは既にユークリッドによってなされたのだが、現代からみればこれは不完全なものであった[23]。19世紀に入って、批判的精神や数学そのものの発達によりユークリッド幾何学の公理系が実は論理的に不完全であることが指摘された[23]。
平行線公理問題や非ユークリッド幾何学の誕生などもそのような流れの一つとしてあげられるだろう[23][24]。
数学者にとって公理系が論理的に不完全であれば、正しい方法で証明したはずの定理からも矛盾が出てしまうため、これが恐れられ一時期盛んに矛盾しない理想の公理系の探求が行われたわけである。
その探求の目的は幾何学を公理系から建設するための無矛盾な公理系の発見とその公理系によって構成される幾何学の構造、更にはそのような複数の公理系間の関係（ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学との関係のような）であった[24]。
19世紀後半よりその様々な代価案が提出されてきたが[23]、最も決定的であったのが19世紀後半から20世紀初頭にはダフィット・ヒルベルトによって提唱されたものであり[23]、その成果は著書「幾何学の基礎[25][26][27]」にまとめられた[10]。
過度に抽象的な幾何学の教育への導入に抵抗し、初等幾何学の復活を唱えた[28]小平邦彦。
過度に抽象的な幾何学の教育への導入に抵抗し、初等幾何学の復活を唱えた[28]小平邦彦。ユークリッドの教育からの追放を提唱したデュドネ。
ユークリッドの教育からの追放を提唱したデュドネ。ヒルベルトは論理的整合性のために感覚から完全に分離された幾何学を唱え[3]、この本では点や線といった専門用語を机や椅子などに置換してすら成立するとまで言われたが、それにしては図が沢山あるため小平邦彦などによって批判された。
図すら一切存在しない初等幾何の基礎付けはジャン・デュドネの「線形代数と初等幾何」を待たねばならないだろう。
デュドネの本には図すら存在せず、ある意味専門用語ですら無意味であるというヒルベルトの精神を体現しているといえる。このような限界までの考察によって、公理とは「誰もが認めうる真理」ではなく、「理論を構成するための根本的要請」という考えにシフトしていった[11]。
このような極端に具体例を軽視し形式主義に走る手法は今日の公理主義的数学の先駆けと見ることができる[10]。
岡潔や小平邦彦などは極端な抽象化に警鐘を鳴らし、岡などは数学の冬の時代とまで称した。
しかし具体例や数学的直感を軽視するのが悪いことではなく、あくまで公理系の無矛盾性が大多数の数学者にとって問題であり、そのため数学の基礎や証明などの根本的部分にその批判が差し向けられたのである。
公理系が矛盾していたら正しくはじめたのにおかしな結果が出てくるかもしれないことが問題視され、この方法は幾何学基礎論から発端となったが同時期に問題となった集合論のパラドクスもあいまって[24]、幾何学にとどまらず数学基礎論としてヒルベルトらにより研究が継続されることとなる[3]。
高次元幾何学
リーマン : 複素解析の幾何学的概念（リーマン球面など）や一般相対論の元になる微分幾何学の基礎を確立。
解析幾何学では三次元ユークリッド空間の幾何学は空間幾何学 (space geometry)、または立体幾何学 (solid geometry) と呼ばれ、二次元ユークリッド空間の幾何学は平面幾何学 (plane geometry) と呼ばれる[10]。これを一般化し、n個の実数の組からn次元空間の点を定義し、それらの任意の二点間の距離空間を定めてn次元ユークリッド空間を構成することができる[10]。同様にn次元空間は非ユークリッド幾何学や射影幾何学についても定めることができる。これらのような様々な空間の研究は19世紀中頃に本格的に行われ、リーマンはn次元の曲がった空間から多様体の概念を導入し、計量として接ベクトル間の内積で曲率を定義した[10]。このような様々な幾何学はアインシュタインが一般相対性理論の研究を行った際に数学的道具を提供した[10]。より一般的には、P・フィンスラーは接ベクトルのノルムを計量とするフィンスラー空間の概念を提唱した。
現代の幾何学
幾何学と群論との関係を見いだしたクライン。
トポロジーの基礎を確立したポアンカレ。
トポロジーにおける連続的変化の一例。（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Mug_and_Torus_morph.gif ）
フェリックス・クラインは幾何学に群論を応用することによって、空間Sの変換群Gによって、変換で不変量な性質を研究する幾何学を提唱した。
これをエルランゲン・プログラム[26]というが、この手法で運動群がユークリッド幾何学を定めるように、射影幾何学、アフィン幾何学、共形幾何学を統一化することができる[10]。更に19世紀末にはアンリ・ポアンカレによって、連続的な変化により不変な性質を研究する位相幾何学が開拓された[10]。
代数曲線・曲面や代数多様体が起源である代数幾何学[10]は高度に発達し、日本でもフィールズ賞受賞者も多く盛んに研究されている。
またヘルマン・ミンコフスキーによる凸体の研究は「数の幾何学」（注：数論幾何学とは異なる）の道を開いた。
20世紀前半には多様体は数学的に厳密に定式化され、ヘルマン・ワイル、エリ・カルタンらにより多様体上の幾何学や現代微分幾何学が盛んに研究された[10]。
ソフス・リーによって導入されたリー群によって、これらの様々な幾何学を不変にする変換群が与えられたが、カルタンはリー群を応用して接続の概念を導入し接続幾何学を完成させ[3]、これらの幾何学を統一化することに成功した[10]。
これはリーマンによる多様体と、クラインによる変換群の考えを統一化したとも理解できる[10]。
これは現代では素粒子物理学などの物理学の諸分野でも常識となっている。
また、代数学や解析学の発展もともなって、多様体の代数的構造と位相空間との関係を研究する大域微分幾何学、複素解析と関係する複素多様体論、古典力学の力学系と関連したシンプレクティック幾何学や接続幾何学、測度論と関連して積分幾何学や測度の幾何学的研究である幾何学的測度論の研究などもこのころにはじまった[10]。
20世紀後半になると多様体上の微分可能構造や力学系、微分作用素なども上記の幾何学とも関係しながら研究が進められた[10]。
他にも幾何構造をなすモジュライ空間や特異点を含む空間の研究、物理学と関連した研究や四色定理に見られるようにコンピューターを用いた研究も行われた[10]。
凸体の幾何学や組み合わせ幾何学の手法は現代ではオペレーションズ・リサーチなどの応用数理の分野でも用いられている[10]。
現代数学と幾何学
代数幾何学に登場する図。
現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透しているため、これらと明確に区別して幾何学とはなにかということを論ずるのは難しいが、しかしながら図形や空間の直感的把握やそのような思考法は先端分野の研究においても重要性を失っていないといえる[10]。
下位分野
現代の幾何学の主要分野は以下は四種類である[29][30]。
位相幾何学
微分幾何学
代数幾何学
離散幾何学うち、代数幾何学は代数学の一部、離散幾何学は離散数学の一部に分類されることもある。このため、幾何学専攻・幾何学研究室を称する場合は主に位相幾何学か微分幾何学が専門であることが多い。
細かい分類は以下のようになる。
綜合幾何学
ユークリッド幾何学
初等幾何学
三角形幾何学（ドイツ語版）
幾何学基礎論
非ユークリッド幾何学
楕円幾何学
球面幾何学
双曲幾何学
非アルキメデス幾何学
射影幾何学
アフィン幾何学
解析幾何学
代数幾何学
数論幾何学
ディオファントス幾何学
微分幾何学
リーマン幾何学
シンプレクティック幾何学
複素幾何学
有限幾何学
離散幾何学
デジタル幾何学
凸幾何学
計算幾何学
フラクタル
インシデンス幾何学
非可換幾何
非可換代数幾何学脚注
[脚注の使い方]注釈
^ 術語「幾何」は古代ギリシア語: “γημετρεω” に由来し、その語義は土地測量（「古代ギリシア語: “γη”（ゲー）：土地」および「”μετρεω”（メトレオ）：測定」）である。この構成は 英語: “geometry” でも同じ（”geo”：土地、”metry”：測量）。
出典
^ a b 広辞苑第六版「幾何学」より
^ a b c デジタル大辞泉『幾何学』 – コトバンク
^ a b c d e f g h i j k ブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学」より。
^ a b “幾何原本. 第1-6巻 / 利瑪竇 口訳 ; 徐光啓 筆受”. 早稲田大学図書館. 2020年12月7日閲覧。
^ 杜石然「イエズス会士と西洋数学の伝入」『中国言語文化研究』第1巻、佛教大学中国言語文化研究会、2001年7月、1-22頁、ISSN 1346-6305、CRID 1050287838661758848。
^ “The Elements of Geometry”. World Digital Library. 2020年12月7日閲覧。
^ Yibao Xu (2005). “The first Chinese translation of the last nine books of Euclid’s Elements and its source”. Historia Mathematica 32 (1): 4-32. doi:10.1016/j.hm.2003.12.002. ISSN 0315-0860.
^ a b c d 渡辺純成「満洲語資料からみた「幾何」の語源について (数学史の研究)」『数理解析研究所講究録』第1444巻、京都大学数理解析研究所、2005年7月、34-42頁、CRID 1050001201690577536、hdl:2433/47614、ISSN 1880-2818、2024年2月26日閲覧。
^ “西学凡 / 艾儒畧 答述”. 早稲田大学図書館. 2020年12月7日閲覧。
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac ad ae af ag ah ai aj ak 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「幾何学」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541
^ a b c d e f g h i j k l m n o この説は古代ギリシャ末期のプロクロスによるユークリッド原論の注釈集の冒頭にあるが、近年では批判もある。一松信、『現代に活かす初等幾何入門』、岩波書店、〈岩波講座 応用数学〉、2003年、第1章。ISBN 4-00-005454-6
^ 邦訳は「中村 幸四郎・寺阪 英孝・伊東 俊太郎・池田 美恵訳・解説、『[1]ユークリッド原論 追補版』、共立出版、2011年。ISBN 978-4-320-01965-2」など。
^ 小林昭七、『円の数学』、裳華房、1999年。ISBN 978-4-7853-1516-0
^ アポッロニオス 『円錐曲線論』 ポール・ヴェル・エック仏訳、竹下貞雄和訳、大学教育出版、2009年1月。ISBN 978-4-88730-880-0。
^ 大辞林「幾何学的精神」より
^ a b 大辞林「学問に王道なし」より
^ R. Descartes, Géométrie, Paris, 1637 (Œuvres, IV, 1901)
^ 遠山啓、『関数を考える』、岩波書店、〈岩波現代文庫〉、2011年、149頁。ISBN 978-4-00-603215-9
^ 朝永振一郎著、江沢洋編、『物理学への道程』、みすず書房、〈始まりの本〉、2012年、349頁。ISBN 978-4-622-08365-8 C1342
^ レオンハルト・オイラー著、高瀬正仁訳『オイラーの解析幾何』、海鳴社、2005年。ISBN 4-87525-227-7
^ シュボーン・ロバーツ著、糸川洋訳、『多面体と宇宙の謎に迫った幾何学者』、日経BP社、2009年。ISBN 978-4-8222-8382-7
^ コクセター著、銀林浩訳、『幾何学入門上・下』、筑摩書房、〈ちくま学芸文庫Math&Science〉、2009年。上巻ISBN 978-4-480-09241-0、下巻ISBN 978-4-480-09242-7
^ a b c d e 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「幾何学基礎論」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541
^ a b c ブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学基礎論」より。
^ D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Teubner, 1899, 第 13 版 1987
^ a b D・ヒルベルト、F・クライン著、寺阪英孝・大西正男訳、解説・正田建次郎、吉田 洋一監修、『ヒルベルト幾何学の基礎、クライン・エルランゲン・プログラム』、共立出版、〈現代数学の系譜 7巻〉、1970年。ISBN 978-4-320-01160-1
^ D・ヒルベルト著、中村幸四郎訳、『幾何学基礎論』、筑摩書房、〈ちくま学芸文庫 Math&Science 〉、2005年。ISBN 978-4-480-08953-3
^ 小平邦彦著、上野健爾解説、『幾何への誘い』、岩波書店、〈岩波現代文庫〉、2000年。ISBN 4-00-600007-3 C0141
^ 砂田利一『現代幾何学の流れ』2007年。
^ TANAAKK. “幾何学の分類 – TANAAKK”. 2025年10月18日閲覧。
関連項目
哲学
ギリシア哲学
古代エジプト哲学
古代ギリシア
古代エジプト
数学
測量
幾何学構成的絵画
幾何学模様
人工知能[1]
外部リンク
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ポータル 数学
Geometric ArtsAesthetic Geometry Site
Weisstein, Eric W. “Geometry”. mathworld.wolfram.com (英語).
Geometry – PlanetMath.（英語）
“Geometry”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
『幾何学』 – コトバンク
表話編歴
数学
表話編歴
幾何学の主要なトピックス
典拠管理データベース ウィキデータを編集
^ “AlphaGeometry, a System That Nears Expert Proficiency in Proving Complex Geometry Theorems” (英語). AlphaGeometry, a System That Nears Expert Proficiency in Proving Complex Geometry Theorems (2024年1月24日). 2024年1月26日閲覧。
カテゴリ: 幾何学数学に関する記事最終更新 2025年10月18日 (土) 07:45 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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『AI による概要
射影という考え方は、幾何学の統一的な理解を可能にし、新しい数学分野の創設につながったという歴史的に重要な役割を果たしました。
特に、消失点という「無限遠点」の概念を導入したことで、ユークリッド幾何学とは異なる視点を提供しました。
主な役割は以下の通りです。
透視図法から射影幾何学へ:
ルネサンス期の芸術家や建築家による遠近法（透視図法）の研究が、射影の数学的な探求の出発点となりました。
画家たちは、奥行きのある現実的な絵画を描くために、空間内の物体が平面のキャンバスにどのように映るかを経験的に研究し、消失点の概念を発見しました。
17世紀にジェラール・デザルグらがこの芸術的な技法を理論的な幾何学へと発展させ、射影幾何学が誕生しました。
この幾何学では、長さや角度ではなく、図形の接続関係（例えば、直線上の点の位置関係や交わり）に焦点が当てられました。「無限遠」の数学的導入:
平行な線路が遠くで一点（消失点）に集まって見える現象を数学的に説明するため、「無限遠点」や「無限遠直線」という概念が導入されました。
これにより、通常のユークリッド平面を拡張した「射影平面」という新しい空間が定義され、平行線も無限遠点で交わるとして扱えるようになり、幾何学の記述がより統一的かつ簡潔になりました。
幾何学の一般化と統一:
射影幾何学は、従来のユークリッド幾何学をより広い視点から捉え直すことを可能にしました。
アイザック・ニュートンは、射影の考え方を用いて様々な3次曲線を統一的に分類しました。
解析幾何学（座標幾何学）の手法も取り入れられることで、双対性といった強力な概念が生まれ、数学全体の発展に大きく寄与しました。
このように、射影という考え方は、視覚芸術の実践的な探求から始まり、ユークリッド幾何学の枠を超えた新しい幾何学の体系を築き、現代数学においても重要な役割を果たす基礎概念となりました。
Geometry: A History From Practice to Abstraction | NRICH
2011/01/31 — In 1639, Girard Desargues (1591-1661) wrote his gr…NRICH
射影幾何の考えかた – 東京大学
2023/10/08 — * 午後の講演では射影幾何と呼ばれる、これまでに習った平面幾何（ユークリッド幾何） とは性質の異なる…Graduate School of Mathematical Sciences
Projection (mathematics) – Wikipedia
The concept of projection in mathematics is a very old one, …Wikipedia
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AI モードでさらに詳しく』 -
-
『AI による概要
掃き出し法とは、連立一次方程式を解くための系統的な方法で、拡大係数行列（連立方程式をまとめて1つの行列にしたもの）に行基本変形を繰り返し適用して解を求める手法です。
この方法により、変数の数が増えても効率的に解を求めることができ、さらに逆行列を求めたりすることも可能です。
特徴
拡大係数行列を使用する: 連立方程式を拡大係数行列という形にまとめます。
行基本変形を適用する: 以下の3つの操作を繰り返し行い、行列を簡約化していきます。
ある行に、他の行の何倍かを加える（引く）。
ある行に0でない数をかける（割る）。
解を求める: 最終的に行列を「行標準形」と呼ばれる形に変形することで、連立方程式の解を読み取ります。手順が定まっている: 従来のような式を変形する感覚的な判断ではなく、決まった手順で計算できるため、複雑な方程式でも効率的に解くことができます。
利点
変数の数が増えても計算を系統的に行えるため、効率的に解を求めることができます。
連立方程式の解を求めるだけでなく、行列の逆行列を求めることにも応用できます。
計算手順が明確なため、誰が計算しても同じ結果が得られます。
21:46
線形代数②(掃き出し法)連立方程式は考えて解くな！【大学 …YouTube·10分で単位が取れる、理系科目のサクっと講義
掃き出し法 – Kanazawa Institute of Technology
2022/06/23 — 連立1次方程式の解の求め方に消去法がある． この消去法を拡大係数行列を用いて計算する方法を掃き出し法…KIT 金沢工業大学
掃き出し法を用いた逆行列の求め方を例題で解説 – AVILEN
2024/04/29 — 掃き出し法とは 掃き出し法とは、以下のように説明できます。 … 行列Aの右隣に単位行列Iをつけ、…AVILEN
掃き出し法による連立一次方程式の解き方 | 問題と解説
掃き出し法 とは 拡大係数行列 を利用して連立一次方程式を解く手法です。光学技術の基礎用語
掃き出し法 – Kanazawa Institute of Technology
2022/06/23 — 連立1次方程式の解の求め方に消去法がある． この消去法を拡大係数行列を用いて計算する方法を掃き出し法…KIT 金沢工業大学
掃き出し法・ガウスの消去法（連立1次方程式の解法） – ワイズ
2023/04/10 — ゆえに と の解集合もまた一致するため、 を解く代わりに を解くことができます。 は行標準形であるた…wiis.info
AI モードでさらに詳しく 』
-
哲学者イマヌエル・カントの５０の名言・格言を一挙紹介
https://meigen-hibiki.net/immanuel-kant/※『 諸君は私から哲学を学ぶのではない。哲学することを学ぶのだ。
– カント -1347 』
『 哲学は学べない。学べるのは哲学することだけである。
– カント -1335 』…。
※ だから、タイトルが『方法序説』（Discours de la méthode（仏）、Discourse on the Method（英））（デカルト）や、『純粋理性批判』『実践理性批判』『判断力批判』（批判（Kritik）、カント）になっているわけだな…。
『イマヌエル・カントはどんな人物？
人物名 イマヌエル・カント
英語名 Immanuel Kant
生年月日 1724年4月22日
没年月日 1804年2月12日
享年 79歳
国籍 プロイセン（ドイツ）
職業 哲学者タップしてカントの略歴を見る
Wikipediaを確認
カントの名言一覧1.
自分の一つ一つの行為が普遍的法則になるかのように生きるのだ。
– カント -1352
2.
未熟さとは、他人の指導なしでは自分の知性を使うことができないということである。
– カント -1327
3.
もし虫けらのように振る舞うのならば、踏み付けられても文句を言ってはならない。
– カント -1370
4.
高慢な人は常に心の底では卑劣である。
– カント -1354
5.
努力によって得られる習慣だけが善である。
– カント -1333
6.
内容のない思考は空虚であり、概念のない直観は盲目である。
– カント -1330
7.
愛とは感性に属する事柄であって、意欲に属する事柄ではない。だから、欲したからといって愛せるわけではないし、ましてや愛さねばと思ったから愛せるわけでもない。
– カント -1367
8.
ドグマ（独断的な説）の死は、道徳の誕生だ。
– カント -1371
9.
善行はこれを他人に施すものではない。これをもって自分自身の義務を済ますのである。
– カント -1338
10.
何度も繰り返し長い時間をかけて考えれば考えるほど、いつも新たな、いよいよ強い感嘆と畏敬とで心をみたすものが二つある。私の上なる星空と私の内なる道徳法則とである。
– カント -1364
11.
信念のための場所をつくるために、わたしは知識を取り除く必要があった。
– カント -1345
12.
真面目に恋をする男は、恋人の前では困惑したり拙劣であり、愛嬌もろくにないものである。
– カント -1343
13.
人は人によりてのみ人となり得べし、人より教育の結果を取り除けば無とならん。
– カント -1341
14.
天才は生得の心の素質であり、これによって自然は芸術に規則を与える。
– カント -1334
15.
暗黒のなかでは、我々の想像力は明るい光におけるよりもたくましく働くのを常とする。
– カント -1366
16.
わたしが生きている間、ずっと幸せである必要はない。しかし、生きている限りは立派に生きるべきである。
– カント -1368
17.
民主政治は専制政体と変わらない。なぜならば、民主政治とは全員がひとりの意志を無視し、時にはこれに逆らって議決し得る。という全員ならぬ全員が議決し得る執行権を認めるからである。
– カント -1326
18.
笑いは消化を助ける。胃散よりはるかに効く。
– カント -1346
19.
恩知らずとは、卑劣さの本質だ。
– カント -1365
20.
あらゆる宗教は道徳をその前提とする。
– カント -1373
21.
酒は口を軽快にする。だが、酒はさらに心を打ち明けさせる。こうして酒はひとつの道徳的性質、つまり心の率直さを運ぶ物質である。
– カント -1349
22.
人間はすべて、文明が進めば進むほど俳優になっていく。つまり、人間は他人に対する尊敬と好意、典雅と無私の風を装うが、それにたぶらかされる人はいない。
– カント -1340
23.
法律においては、他人の権利を侵害する時には罰せられる。道徳においては、侵害しようと考えるだけで罪である。
– カント -1328
24.
諸君は私から哲学を学ぶのではない。哲学することを学ぶのだ。
– カント -1347
25.
苦悩は活動への拍車である。そして活動の中にのみ我々は我々の生命を感じる。
– カント -1357
26.
我々は光のもとで暗闇を、幸福のもとで悲惨を、満足のもとで苦痛を思い起こすことはまれである。しかし、その逆はいつもである。
– カント -1360
27.
教育は人間に課すことのできる最も大きい、難しい問題である。
– カント -1358
28.
我が行いを見習えと、誰にでも言い得るよう行為せよ。
– カント -1362
29.
存在するとは、行動することである。
– カント -1336
30.
すべての知識は経験に基づく。
– カント -1372
31.
崇高なものは我々を感動させ、美しいものは我々を魅了する。森は夜崇高であり、昼美しい。
– カント -1339
32.
あらゆる事物は価値を持っているが、人間は尊厳を有している。人間は決して目的のための手段にされてはならない。
– カント -1374
33.
自由とは、すべての特権を有効に発揮させる特権である。
– カント -1351
34.
科学とは体系化された知識で、知恵とは整理された生活である。
– カント -1363
35.
最も平安な、そして純粋な喜びの一つは、労働をした後の休息である。
– カント -1353
36.
真の人間性に最もよく調和する愉しみは、よき仲間との愉しい食事である。
– カント -1344
37.
人が財産を使うに際しては、慎重さとためらいとがある。それは善行ではないし、手腕も能力も必要とはしない。
– カント -1342
38.
疑う余地のない純粋な喜悦のひとつは、勤労の後の休息である。
– カント -1359
39.
友情関係は同等関係である。
– カント -1325
40.
我は孤独である。我は自由である。我は我みずからの王である。
– カント -1361
41.
宗教とは、我々の義務のすべてを神の命令とみなすことである。
– カント -1348
42.
哲学は学べない。学べるのは哲学することだけである。
– カント -1335
43.
幸福とは理性の理想ではなく、想像の理想である。
– カント -1355
44.
よく見なさい。美とは取るに足りないものかもしれない。
– カント -1369
45.
徳にとってまず要求されることは、自己自身を支配することである。
– カント -1331
46.
理論のない経験は盲目である。しかし、経験のない理論は単なる知的ゲームに過ぎないのだ。
– カント -1324
47.
互いに自由を妨げない範囲において、我が自由を拡張すること、これが自由の法則である。
– カント -1356
48.
1．私は何を知りうるか。2．私は何を為すべきか。3．私は何を望むのがよいか。4．人間とは何か。第一の問いに答えるのは形而上学であり、第二の問いには道徳、第三の問いには宗教、第四の問いには人間学が答える。結局これらすべては人間学に含ませてよいであろう。なぜなら最初の三つの問いは最後の問いに関連しているからだ。
– カント -1375
49.
美には客観的な原理はない。
– カント -1329
50.
動物に対して残酷な人は、人間関係においても容赦ない。我々は動物の扱い方によって、その人の心を判断することができる。
– カント -1332 』
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『はい、その通りです。
逆数を考えることの最大のメリットは、割り算をかけ算に変換できることにあります。
これにより、割り算の計算が簡略化され、より統一的な計算手順で扱うことが可能になります。
詳細
計算の簡略化:
割り算と逆数をかけることは同じ意味であるため、分数の割り算などでは、そのまま割り算をするのではなく、割る数の逆数をかけることで計算を進めることができます。
計算の一般化:
この逆数を利用する考え方は、分数だけでなく、より複雑な数式や、ある特定の演算の構造を理解する上でも役立ちます。
計算手順の一貫性:
割り算と掛け算を同じ「かけ算」として扱うことで、四則演算の優先順位の理解や計算の手続きが統一され、混乱を防ぐことにもつながります。
何で分数の割り算は逆数をかけるの？理由を説明できますか？ – 数学ノート
2019/10/05 — 逆数をかけることの意味としては,分母を揃えるために,５倍し,その後,分子にある３で割っていると言えま…math-note.com
四則演算の順番は？ 掛け算や割り算、混乱しないルールを解説
2023/09/26 — 次のルールです。 ルール③ 掛け算、割り算は、足し算、引き算より先に計算します。 1つの式の中に＋、…Web担当者Forum
意外と知らない｢1/3で割る｣の”意味”を納得解説 ｢分数の割り算｣を根本から …
2024/06/05 — 割り算は「1当たり」を計算するもの 結論を言うと、割り算は「割合」を考えるためのものです。 割合とは…東洋経済オンライン
すべて表示
AI の回答には間違いが含まれている場合があります。 詳細 』
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逆数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0
『出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
関数 y =
1
/
x
のグラフ。0 を除くすべての x について y はその逆数を表している。
逆数（ぎゃくすう、英: reciprocal）とは、ある数に掛け算した結果が 1 となる数である。すなわち、数 x の逆数 y とは次のような関係を満たす。x
×y
y
×x
1.
{\displaystyle x\times y=y\times x=1.}
通常、x の逆数は分数の記法を用いて
1
/
x
のように表されるか、冪の記法を用いて x−1 のように表される。1 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元（じょうほうぎゃくげん、英: multiplicative inverse）の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。
上述の式から明らかなように、x と y の役割を入れ替えれば、x は y の逆数であると言える。従って、x の逆数が y であるとき y の逆数は x である。
x が 0 である場合、任意の数との積は 0 になるため、（0 ≠ 1 であれば）0 に対する逆数は存在しない。
また、任意の x について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は x = y = 1 以外には存在しない。0 を除く任意の数 x について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。
逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。
1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの（代数的構造）はループと呼ばれる。
例
以下に具体例をいくつか挙げる。ここで e はネイピア数、i は虚数単位、r は複素数の絶対値、θ は複素数の偏角を表す。また、z は複素数 z の共役複素数、|a| は数 a の絶対値を表す。9 の逆数は
1
/
9
。同様に
1
/
9
の逆数は 9。
2
/
3
の逆数は
3
/
2
。同様に
3
/
2
の逆数は
2
/
3
。
0.3 の逆数は
1
/
0.3
=
10
/
3
。同様に
10
/
3
の逆数は
3
/
10
= 0.3。
−5 の逆数は
1
/
−5
= −
1
/
5
= −0.2。
−|a| の逆数は
1
/
−|a|
= −
1
/
|a|
。
i の逆数は
1
/
i
= i−1 = −i。
3 + 4i の逆数は
1
/
3 + 4i
=
3 − 4i
/
25
。
x + yi の逆数は
1
/
x + yi
=
x − yi
/
x 2 + y 2
。
reiθ の逆数は (reiθ)−1 =
1
/
r
e−iθ。
複素数 z の逆数は
1
/
z
=
1
/
|z|2
z。
合同式での逆数
→詳細は「モジュラ逆数」を参照
合同式において逆数を考えることができる。a × b を m で割ると 1 余るとき、b を a の m を法とする逆数と呼ぶ。合同式で表すと以下のようになる。a
×
b
≡
1
(
mod
m
)
.
{\displaystyle a\times b\equiv 1{\pmod {m}}.}
例えば、4 × 2 ≡ 1 (mod 7) となるので、法 7 において 2 は 4 の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、0 の逆数は存在せず、1 や −1 の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、m の倍数の逆数は存在せず、(km ± 1) の逆数はそれ自身になる。定義上、a は m と互いに素である必要がある。つまり、一般に合同式での逆数は存在するとは限らない。例えば、7 × b ≡ 1 (mod 42) や 12 × b ≡ 1 (mod 4) を満たす b は存在しない。
素数 p を法とする場合、0 以外の全ての元が逆数を持つ。法 17 を例とすると次のようになる。
元 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
逆数 なし 1 9 6 13 7 3 5 15 2 12 14 10 4 11 8 16
合同式での逆数はオイラーの定理によって計算できる。a に逆数 b が存在するならばa
×
b
≡
1
≡
a
φ
(
m)
a
×
a
φ
(
m
)
−
1
(
mod
m
)
{\displaystyle a\times b\equiv 1\equiv a^{\varphi (m)}=a\times a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}}
なので、b
≡
a
φ
(
m
)
−
1
(
mod
m
)
{\displaystyle b\equiv a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}}
（ここで φ はオイラーのφ関数）であり、逆に a と m が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、m が素数の場合以下のようになる（フェルマーの小定理から直接導かれる）。b
≡
a
m
−
2
(
mod
m
)
.
{\displaystyle b\equiv a^{m-2}{\pmod {m}}.}
また、ユークリッドの互除法によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下のベズーの等式（ディオファントス方程式の一種）が b と n について整数解を持つことと同値である。a
×
b
+
m
×n
1.
{\displaystyle a\times b+m\times n=1.}
この式の解は、a と m が互いに素である場合、かつその場合に限り存在する。日本における学校教育
日本の小学校では、小学6年生で分数の掛け算・割り算について学習する際に、逆数について学習し、x（実際には具体的な数を用いる）で割ることと
1
/
x
を掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。この事は中学校の課程で、加法における逆元、つまり負の数について学ぶ準備になっている。関連項目
反比例
単位分数
エジプト式分数
反数
逆元
単位元
吸収元
逆行列
群 (数学)
準群#ループ
カテゴリ: 算術代数学初等数学数学に関する記事
最終更新 2024年1月14日 (日) 11:25 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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『AI による概要
逆数とは、ある数にその数を掛けると「1」になる数のことです。例えば、3の逆数は1/3であり、2/3の逆数は3/2です。分数、整数、小数の逆数を求めることができますが、0（ゼロ）には逆数が存在しません。
逆数の求め方
分数の場合：:分母と分子を入れ替えます。
例： 5/8 の逆数は 8/5
整数・小数の場合：:まず分数の形に直してから、分母と分子を入れ替えます。
例： 4 の逆数は 1/4
例： 0.5 の逆数は 1/2 で、0.5を分数にすると1/2なので、その逆数は2になります。ポイント
「0」には逆数がない：
0に何をかけても結果は0にしかならず、1になることがないためです。これが「0で割ってはいけない」理由にもつながります。
除法（割り算）で使われる：
割り算は、その数を割る数（わる数）の逆数をかける計算と同じになります。
例： 3 ÷ (2/5) は、3 × (5/2) と同じ計算になります。逆数｜算数用語集
ある数aに対して，１/aをaの逆数といいます。 aとaの逆数１/aの積は１になります。 分数だけでなく，整数，小数も逆数…新興出版社啓林館
逆数 – Wikipedia
逆数（ぎゃくすう、英: reciprocal）とは、ある数に掛け算した結果が 1 となる数である。 すなわち、数 x の…Wikipedia
逆数の意味と求め方。逆数の和の発散について – アタリマエ！
2019/09/09 — 逆数とは、簡単に言うと「かけたら1になる数」のことです。 たとえば、「Aの逆数」とは『A×B＝1』と…atarimae.biz
逆数とは？1秒で計算できる求め方と3つの注意点を徹底紹介 – 受験のミカタ
2023/12/21 — 解答＆解説 逆数を求めるには、与えられた数に何をかければ１になるか？ を考えます。 5/8に何をかけ…受験のミカタ
【中1数学】逆数について解説！これが分かれば負の数を含む分数の …
結局、逆数ってなに？ さて、\frac{2}{3}に\frac{3}{2}を掛けると1となるというような2数の関係がある…家庭教師のあすなろ関西【公式】
逆数(ギャクスウ)とは？ 意味や使い方 – コトバンク
ぎゃく‐すう【逆数】 * 〘 名詞 〙 * ① ０でない数で１を割って得られた商の、もとの数に対する称。 たとえば、３…コトバンク
逆数 – 中学校数学・学習サイト
２つの積が１のとき、一方を他方の逆数という。 逆数を求めよ。 … 負の数×負の数=正の数なので、負の数の逆数は負の数…中学校数学・学習サイト
中１数学：逆数 – オンライン無料塾「ターンナップ」
中１数学：逆数 * ＜ポイント＞ ・2つの数の積が1であるとき、「一方の数を他方の数の逆数」という ・逆数は「分母と分…
オンライン無料塾「ターンナップ」度数の数字の意味
2.00の逆数→1/2→0.5なので、この方は大体裸眼で0.5ｍつまり50㎝くらいまでならはっきり見る事ができると言える…
メガネのアイアンドアイ5分でわかる、「単項式の除法の例題」の映像授業 | 映像授業のTry IT (トライイット)
文字÷文字の計算は次のポイントをおさえておけばＯＫだね。 わり算は、逆数のかけ算にする 。 そしてかけ算するときは、数字…Try IT
わかるよ！小数・分数 かけ算わり算
2019/10/01 — 内容紹介 割り算と小数（1÷2=1/2=0.5）、分数と小数（0.7=7/10） 1より小さい数をか…nikk-eizo.com
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