^ 術語「幾何」は古代ギリシア語: “γημετρεω” に由来し、その語義は土地測量（「古代ギリシア語: “γη”（ゲー）：土地」および「”μετρεω”（メトレオ）：測定」）である。この構成は 英語: “geometry” でも同じ（”geo”：土地、”metry”：測量）。 出典 ^ a b 広辞苑第六版「幾何学」より ^ a b c デジタル大辞泉『幾何学』 – コトバンク ^ a b c d e f g h i j k ブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学」より。 ^ a b “幾何原本. 第1-6巻 / 利瑪竇 口訳 ; 徐光啓 筆受”. 早稲田大学図書館. 2020年12月7日閲覧。 ^ 杜石然「イエズス会士と西洋数学の伝入」『中国言語文化研究』第1巻、佛教大学中国言語文化研究会、2001年7月、1-22頁、ISSN 1346-6305、CRID 1050287838661758848。 ^ “The Elements of Geometry”. World Digital Library. 2020年12月7日閲覧。 ^ Yibao Xu (2005). “The first Chinese translation of the last nine books of Euclid’s Elements and its source”. Historia Mathematica 32 (1): 4-32. doi:10.1016/j.hm.2003.12.002. ISSN 0315-0860. ^ a b c d 渡辺純成「満洲語資料からみた「幾何」の語源について (数学史の研究)」『数理解析研究所講究録』第1444巻、京都大学数理解析研究所、2005年7月、34-42頁、CRID 1050001201690577536、hdl:2433/47614、ISSN 1880-2818、2024年2月26日閲覧。 ^ “西学凡 / 艾儒畧 答述”. 早稲田大学図書館. 2020年12月7日閲覧。 ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac ad ae af ag ah ai aj ak 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「幾何学」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541 ^ a b c d e f g h i j k l m n o この説は古代ギリシャ末期のプロクロスによるユークリッド原論の注釈集の冒頭にあるが、近年では批判もある。一松信、『現代に活かす初等幾何入門』、岩波書店、〈岩波講座 応用数学〉、2003年、第1章。ISBN 4-00-005454-6 ^ 邦訳は「中村 幸四郎・寺阪 英孝・伊東 俊太郎・池田 美恵訳・解説、『[1]ユークリッド原論 追補版』、共立出版、2011年。ISBN 978-4-320-01965-2」など。 ^ 小林昭七、『円の数学』、裳華房、1999年。ISBN 978-4-7853-1516-0 ^ アポッロニオス 『円錐曲線論』 ポール・ヴェル・エック仏訳、竹下貞雄和訳、大学教育出版、2009年1月。ISBN 978-4-88730-880-0。 ^ 大辞林「幾何学的精神」より ^ a b 大辞林「学問に王道なし」より ^ R. Descartes, Géométrie, Paris, 1637 (Œuvres, IV, 1901) ^ 遠山啓、『関数を考える』、岩波書店、〈岩波現代文庫〉、2011年、149頁。ISBN 978-4-00-603215-9 ^ 朝永振一郎著、江沢洋編、『物理学への道程』、みすず書房、〈始まりの本〉、2012年、349頁。ISBN 978-4-622-08365-8 C1342 ^ レオンハルト・オイラー著、高瀬正仁訳『オイラーの解析幾何』、海鳴社、2005年。ISBN 4-87525-227-7 ^ シュボーン・ロバーツ著、糸川洋訳、『多面体と宇宙の謎に迫った幾何学者』、日経BP社、2009年。ISBN 978-4-8222-8382-7 ^ コクセター著、銀林浩訳、『幾何学入門上・下』、筑摩書房、〈ちくま学芸文庫Math&Science〉、2009年。上巻ISBN 978-4-480-09241-0、下巻ISBN 978-4-480-09242-7 ^ a b c d e 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「幾何学基礎論」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541 ^ a b c ブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学基礎論」より。 ^ D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Teubner, 1899, 第 13 版 1987 ^ a b D・ヒルベルト、F・クライン著、寺阪英孝・大西正男訳、解説・正田建次郎、吉田 洋一監修、『ヒルベルト幾何学の基礎、クライン・エルランゲン・プログラム』、共立出版、〈現代数学の系譜 7巻〉、1970年。ISBN 978-4-320-01160-1 ^ D・ヒルベルト著、中村幸四郎訳、『幾何学基礎論』、筑摩書房、〈ちくま学芸文庫 Math&Science 〉、2005年。ISBN 978-4-480-08953-3 ^ 小平邦彦著、上野健爾解説、『幾何への誘い』、岩波書店、〈岩波現代文庫〉、2000年。ISBN 4-00-600007-3 C0141 ^ 砂田利一『現代幾何学の流れ』2007年。 ^ TANAAKK. “幾何学の分類 – TANAAKK”. 2025年10月18日閲覧。 関連項目 哲学 ギリシア哲学 古代エジプト哲学 古代ギリシア 古代エジプト 数学 測量 幾何学構成的絵画 幾何学模様 人工知能[1] 外部リンク ウィキペディアの姉妹プロジェクトで 「幾何学」に関する情報が検索できます。 ウィクショナリーの辞書項目 コモンズのメディア ウィキニュースのニュース ウィキクォートの引用句集 ウィキソースの原文 ウィキブックスの教科書や解説書 ウィキバーシティの学習支援 Portal:数学 ポータル 数学 Geometric ArtsAesthetic Geometry Site Weisstein, Eric W. “Geometry”. mathworld.wolfram.com (英語). Geometry – PlanetMath.（英語） “Geometry”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] 『幾何学』 – コトバンク 表話編歴 数学 表話編歴 幾何学の主要なトピックス 典拠管理データベース ウィキデータを編集 ^ “AlphaGeometry, a System That Nears Expert Proficiency in Proving Complex Geometry Theorems” (英語). AlphaGeometry, a System That Nears Expert Proficiency in Proving Complex Geometry Theorems (2024年1月24日). 2024年1月26日閲覧。 カテゴリ: 幾何学数学に関する記事
上述の式から明らかなように、x と y の役割を入れ替えれば、x は y の逆数であると言える。従って、x の逆数が y であるとき y の逆数は x である。
x が 0 である場合、任意の数との積は 0 になるため、（0 ≠ 1 であれば）0 に対する逆数は存在しない。
また、任意の x について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は x = y = 1 以外には存在しない。0 を除く任意の数 x について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。
逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。
1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの（代数的構造）はループと呼ばれる。
例 以下に具体例をいくつか挙げる。ここで e はネイピア数、i は虚数単位、r は複素数の絶対値、θ は複素数の偏角を表す。また、z は複素数 z の共役複素数、|a| は数 a の絶対値を表す。
9 の逆数は 1 / 9 。同様に 1 / 9 の逆数は 9。 2 / 3 の逆数は 3 / 2 。同様に 3 / 2 の逆数は 2 / 3 。 0.3 の逆数は 1 / 0.3 = 10 / 3 。同様に 10 / 3 の逆数は 3 / 10 = 0.3。 −5 の逆数は 1 / −5 = − 1 / 5 = −0.2。 −|a| の逆数は 1 / −|a| = − 1 / |a| 。 i の逆数は 1 / i = i−1 = −i。 3 + 4i の逆数は 1 / 3 + 4i = 3 − 4i / 25 。 x + yi の逆数は 1 / x + yi = x − yi / x 2 + y 2 。 reiθ の逆数は (reiθ)−1 = 1 / r e−iθ。 複素数 z の逆数は 1 / z = 1 / |z|2 z。 合同式での逆数 →詳細は「モジュラ逆数」を参照 合同式において逆数を考えることができる。a × b を m で割ると 1 余るとき、b を a の m を法とする逆数と呼ぶ。合同式で表すと以下のようになる。
a × b ≡ 1 ( mod m ) . {\displaystyle a\times b\equiv 1{\pmod {m}}.} 例えば、4 × 2 ≡ 1 (mod 7) となるので、法 7 において 2 は 4 の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、0 の逆数は存在せず、1 や −1 の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、m の倍数の逆数は存在せず、(km ± 1) の逆数はそれ自身になる。
定義上、a は m と互いに素である必要がある。つまり、一般に合同式での逆数は存在するとは限らない。例えば、7 × b ≡ 1 (mod 42) や 12 × b ≡ 1 (mod 4) を満たす b は存在しない。
a × a φ ( m ) − 1 ( mod m ) {\displaystyle a\times b\equiv 1\equiv a^{\varphi (m)}=a\times a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}} なので、
b ≡ a φ ( m ) − 1 ( mod m ) {\displaystyle b\equiv a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}} （ここで φ はオイラーのφ関数）であり、逆に a と m が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、m が素数の場合以下のようになる（フェルマーの小定理から直接導かれる）。
b ≡ a m − 2 ( mod m ) . {\displaystyle b\equiv a^{m-2}{\pmod {m}}.} また、ユークリッドの互除法によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下のベズーの等式（ディオファントス方程式の一種）が b と n について整数解を持つことと同値である。
a × b + m ×
n
1. {\displaystyle a\times b+m\times n=1.} この式の解は、a と m が互いに素である場合、かつその場合に限り存在する。
日本における学校教育 日本の小学校では、小学6年生で分数の掛け算・割り算について学習する際に、逆数について学習し、x（実際には具体的な数を用いる）で割ることと 1 / x を掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。この事は中学校の課程で、加法における逆元、つまり負の数について学ぶ準備になっている。
ジジイがあれこれ考えた 
