『AI による概要 量子物理学においてトポロジー的に飛び飛び（離散的）な量が出てくるのは、系の波動関数が持つ「位相」の性質が、ループや閉じた空間といった系の「トポロジー（幾何学的性質）」によって制限されるためです。
この制限は、物理量が整数値しか取れないという「量子化」を引き起こします。
量子化の理由：
境界条件と位相 量子力学では、粒子は波動関数として記述されます。
この波動関数は、物理的に意味を持つためには特定の数学的要件、特に「境界条件」を満たす必要があります。
1. 波動関数の連続性と一価性
波動関数は、空間内で滑らかに連続しており、かつ一点で一つの値しか持たない「一価関数」でなければなりません。
空間内を一周して元の場所に戻ってきたとき、波動関数の「位相」（波のどの位置にいるかを示す角度）は、元の位相と一致している必要があります。
- トポロジー的な「ねじれ」
通常の空間では、この条件は自明に満たされます。
しかし、トポロジカルな系では、電子が運動する空間や、運動量空間と呼ばれる抽象的な空間が「ループ」や「穴」を持った構造をしている場合があります。
具体例としての磁場中の電子:
外部磁場中の電子を考えた場合（量子ホール効果など）、電子の波動関数は、磁場によって通常の空間とは異なる「位相のねじれ」の影響を受けます。
このねじれの度合いがトポロジカルな量に対応します。
- 整数量子化の必然性
一価性の条件を満たすためには、この「位相のねじれ」は、(2\pi )（360度）の整数倍でなければなりません。
ちょうど、輪ゴムを指に巻き付ける回数が整数回でなければならないのと同じ論理です。
この整数の巻き数のような性質が、トポロジカル不変量（チェルン数など）と呼ばれます。
この不変量は、系の詳細な形状や不純物といった微小な変化に対して非常に頑強（ロバスト）であり、連続的に変化することはありません。
変化するためには、エネルギーギャップを閉じるような劇的な変化（相転移）が必要です。
したがって、トポロジカルな量は「整数」という飛び飛びの値しか取ることができず、これが観測される物理量（例えば、ホール伝導度など）の正確な量子化として現れるのです。
Have physicists figured out the reason that quantization is so …2023/03/19 — It’s more about functional analysis and how PDEs e…Reddit
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